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Wavelet methods for ill-posed elliptic problems. (Wavelet-Methoden für schlecht-gestellte und elliptische Probleme.) (German) Zbl 0866.65076
Aus dem Vorwort: Die vorliegende Arbeit stimmt bis auf die Verbesserung weniger Druckfehler mit meiner Habilitationsschrift vom Juni 1996 überein. In ihr behandle ich die effiziente numerische Lösung inverser und elliptischer Probleme unter Ausnutzung von Wavelet-Techniken im weitesten Sinne.
Die vorgeschlagenen Verfahren bieten echte Alternativen zu bestehenden Lösungsmethoden. Besonders wichtig war mir dahei neben der theoretischen Analyse (Fehler- bzw. Konvergenzabschätzungen) auch die numerische Realisierbarkeit der Algorithmen. Ich berichte über eine Vielzahl numerischer Experimente, die die theoretischen Aussagen illustrieren und reproduzieren.
Die Arbeit unterteilt sich in drei Kapitel. Im ersten stelle ich Ergebnisse und Konzepte aus der Theorie der Wavelets vor, die grundlegende Hilfsmittel für die beiden folgenden Kapitel sind. Die Darstellung wurde bewußt knapp gehalten, ohne dabei auf Details zu verzichten, die dem Verständnis dienen.
Kapitel 2 stellt Multileveliterationen für schlecht gestellte Probleme vor, die durch eine Tikhonov-Regularisierung stabilisiert und mittels einer Fehlerquadratmethode diskretisiert werden. Die Iterationen werden in einem sehr allgemeinen Rahmen motiviert und analysiert. Ihre Realisierungen zur Lösung univariater Integralgleichungen der 1. Art werden ausführlich diskutiert, um den Übergang von der abstrakten Formulierung zur konkreten Implementierung exemplarisch zu demonstrieren. Das zweite Kapitel endet mit der Erörterung einer möglichen Anwendung der Iterationen zur Lösung des Rekonstruktionsproblems der 3D-Computer-Tomographie.
In Kap. 3 wird ein Einbettungsverfahren zur Diskretisierung von Dirichlet-Randwertproblemen in beliebiger Raumdimension hergeleitet. Der entscheidende Pluspunkt dieser Methode liegt in der Verwendung Cartesischer Koordinaten unabhängig von der Geometrie des zugrunde liegenden Gebietes. Ohne einen schnellen Löser für die resultierenden linearen Systeme wäre diese Art der Diskretisierung jedoch nicht konkurrenzfähig. Deswegen wird eine adäquate Vorkonditionierung empfohlen und analysiert.
Die Kapitel 2 und 3 beginnen jeweils mit einer detaillierten Einführung in ihre Thematik und ihren wissenschaftlichen Rahmen.
MSC:
65N30 Finite element, Rayleigh-Ritz and Galerkin methods for boundary value problems involving PDEs
35J25 Boundary value problems for second-order elliptic equations
65N15 Error bounds for boundary value problems involving PDEs
65F35 Numerical computation of matrix norms, conditioning, scaling
35R25 Ill-posed problems for PDEs
65N12 Stability and convergence of numerical methods for boundary value problems involving PDEs
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