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Sur les valeurs asymptotiques des polynomes d’Hermite \(H_n(x)=(-1)^n e^{\tfrac{x^2}{2}} \dfrac{d^n}{dx^n}\left(e^{-\tfrac{x^2}{2}}\right)\). (French) JFM 55.0799.02

Verf. gehen von der Darstellung \[ \frac{(-1)^{n-1}}{(n-1)!} H_{n-1}(x) = \frac{1}{2\pi i} \int \frac{e^{-\tfrac{z^2}{2}-zx}}{z^n} \, dz \] aus und untersuchen das Integral nach der Sattelpunktmethode: Der Integrationsweg wird an einer Nullstelle der Ableitung des Integranden vorbeigeführt, und es wird gezeigt, daß man gegen den Beitrag des Wegteils in deren Nähe die Beiträge der übrigen Wegteile vernachlässigen kann; der Fehler wird angegeben. Die Fälle \(x^2 \neq 4n\) und \(x^2 \sim 4n\) erfordern verschiedene Betrachtungen. Die Hauptglieder der asymptotischen Formeln sind endliche Summen, die aus einfachen trigonometrischen Ausdrücken und rekurrierend zu berechnenden Koeffizienten gebildet sind.

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Full Text: DOI EuDML