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On the solution of certain equations in two variables with the help of rational functions and on a theorem of M. Noether. (Sur la résolution de certaines équations à deux variables à l’aide de fonctions rationnelles et sur un théorème de M. Noether.) (French) JFM 32.0417.03

Eine Gleichung \(f(x,y,z)=0\), in der die linke Seite eine ganze rationale Funktion von \(x,y,z\) ist, kann nicht immer dadurch erfüllt werden, daßman \(y\) und \(z\) gleich rationalen Funktionen von \(x\) setzt, denn in dem speziellen Falle \[ z^m - a(x) y^m - b(x) =0 \] ist das unmöglich, sobald \(m>2\) ist; wohl aber geht es für \(m=2\). Die Schwierigkeit der Frage, welche Gleichungen \(f(x, y, z) =0\) identisch erfüllt werden, wenn man \(y\) und \(z\) gleich rationalen Funktionen von \(x\) setzt, wird an dem weiteren Beispiel: \[ z^2 - f(x) \cdot F(y) =0 \] erläutert, das, wenn \(f\) und \(F\) Polynome dritten Grades sind, zur vollständigen Erledigung die Transformationstheorie der elliptischen Funktionen erfordert.

MSC:

14J99 Surfaces and higher-dimensional varieties
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