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Einige Anwendungen der hydrodynamischen Theorien von Kirchhoff-Clebsch. (German) JFM 47.0761.05
Die klassische Theorie der kräftefreien Bewegung eines starren Körpers in einer idealen Flüssigkeit beruht bekanntlich auf der Tatsache, daß man hier den gesamten Einfluß der Flüssigkeit auf den starren Körper durch eine scheinbare Trägheitsvermehrung des letzteren zum Ausdruck bringen kann. Man hat im wesentlichen die Gleichungen des starren Körpers anzusetzen und dabei nur für die lebendige Kraft eine quadratische Form \(T\) allgemeinster Art in 6 Variablen also mit 21 Koeffizienten einzuführen, während der Ausdruck der eigentlichen lebendigen Kraft des starren Körpers nur 10 unabhängige Koeffizienten enthält. In der vorliegenden Arbeit wird zunächst gezeigt, wie man durch Koordinatentransformation die Formel für \(T\) vereinfachen kann. Sodann gibt der Verf. Integrale der Bewegungsgleichungen unter der Voraussetzung des Bestehens bestimmter Beziehungen zwischen den Koeffizienten von \(T.\) So wird z. B. im Falle eines Körpers, der zwei zueinander senkrechte Symmetriebenen besitzt, verlangt, daß der Ausdruck für \(T\) lautet: \[ 2T = a_{11}(x_1^2 + x) + a_{33}x_3^2 + 2a_{16}x_1y_3 + a_{44}(y_1^2 + y_2^2) + a_{66}y_3^2. \] Unter dieser Voraussetzung findet man, abgesehen von den bekannten zeitlosen Integralen der Kirchhoff-Clebschschen Theorie, daß \(x_3\) sich als elliptische Funktion der Zeit darstellt. Ähnlich ist die Einschränkung für Körper mit einer einzigen oder mit keiner Symmetrieebene. Im letzten Fall wird durch 5 beschränkende Relationen die quadratische Form auf die folgende Gestalt gebracht: \[ 2T = a (x_1^2 + x_2^2) + bx_3^2 + 2cx_2y_3 + a_1 (y_1^2 + y_2^2) + 2b_1y_1y_3 +c_1y_3^2. \] Auch hier ergibt sich \(x_3\) als elliptisches Integral.
Was die Beschränkungen für die Koeffizienten der lebendigen Kraft bedeuten, ist nicht recht ersichtlich. Dies könnte vielleicht eine weniger formelmäßige Behandlungsweise, die dem geometrischen bzw. vektoranalytischen Charakter der auftretenden Größen entspricht, lehren.
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Full Text: Crelle EuDML