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From the Physical Mathematical Society of Upsala. III. (Från fysisk-matematiska föreningen i Upsala. III.) (Swedish) JFM 17.0209.01
Enthält als dritte Mitteilung einen vom Herrn A. Meyer gelieferten Beweis des folgenden Satzes.
Addirt man Glied für Glied die beiden Potenzreihen \(P(x | a)\) und \(P_1(x|a)\), so kann die Summe keinen anderen Convergenzbereich haben als denjenigen, welcher den beiden Reihen \(P\) und \(P_1\) gemeinsam ist, nebst Discussion des Satzes auch für Reihen mit mehreren Variabeln.
Der oben genannte Aufsatz enthält als erste Mitteilung den Satz \[ \int^{\pi}_0 \frac{\sin^n \psi d\psi}{\left(1-k^2\sin^2\, \frac{\psi}{2}\right)^{n+1}}= \frac{\sqrt{\pi}}{k_1^{n-1}}\;\frac {\varGamma \left( \frac{n+1}{2} \right) }{\varGamma \left( \frac{n+2}{2} \right)}, \quad (k^2+k_1^2= 1), \] der nur ein Specialfall des folgenden ist: \[ \int^{\pi}_0 \frac{ \left( \frac{k_1 \sin{}\psi}{\varDelta^2 \left( \frac{\psi}{2}\right) } \right)} {\varDelta^2 \left( \frac{\psi}{2} \right)}\;d \psi= \frac{1}{k_1}\;\int^{\pi}_{0}\;f(\sin{} \psi )d \psi, \] wo \[ \varDelta \left( \frac{\psi}{2} \right) = \sqrt{1-k^2\sin^2 \frac{\psi}{2}}. \] Der Beweis gründet sich auf gewisse Eigenschaften der Ellipse.
MSC:
30B10 Power series (including lacunary series) in one complex variable
Keywords:
Power series
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