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Über Poincarésche Fundamentalfunktionen. (German) JFM 45.0530.05

Die von Poincaré erweiterte Fassung des Neumannschen und des Robinschen Problems führt bekanntlich auf die beiden adjungierten Integralgleichungen \[ (1)\qquad \begin{aligned} & x(s)+\lambda\int h(t,s)x(t)dt=f(s),\\ & x(s)+\lambda\int h(s,t)x(t)dt+f(s),\end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} & h(s,t)\frac{1}{\pi} \frac{\partial}{\partial n_s}g(s,t)= \frac{1}{\pi} \frac{\partial}{\partial n_s}\left( \log \frac{1}{r_{st}} \right) \;{\text{in der Ebene}}\;& h(s,t)\frac{1}{2\pi} \frac{\partial}{\partial n_s}g(s,t)= \frac{1}{2\pi} \frac{\partial}{\partial n_s}\frac{1}{r_{st}}\;{\text{im Raume}},\end{aligned} \] Unter \(r_{st}\) die Entfernung der Punkte \(s\) und \(t\) auf dem Rande \(S\) des der Betrachtung zugrunde gelegten Gebietes \(T\), unter \(n_s\) die Innennormale in \(s\) verstanden. Da \[ (2)\quad \int g(s,\theta) \frac{\partial}{\partial n_{\theta}}g(\theta,t)d\theta=\int g(t,\theta) \frac{\partial}{\partial n_{\theta}}g(\theta,s)d\theta \] ist, und überdies im Raume, außer für identisch verschwindende \(f(s)\), \[ (3)\qquad \int g(s,t)f(s)f(t)ds dt > 0 \] ist, so ist der Kern \(h(s, t)\) nach H. Marty “symmetrisierbar”. In der Ebene gilt (2) auch noch, der Kern \(g(s, t)\) braucht jedoch nicht definit zu sein. Die Beziehung (3) ist sicher für alle \(f(s)\) erfüllt, so daß \(\int f(s)ds=0\) ist. Setzt man \[ f(s,t)=h(s,t)-v(s),\;\int \nu(t)dt=1, \] unter \(\nu(s)\) die natürliche Belegung verstanden, so hat \(f(s,t)\) bis auf \(\lambda=-1\) dieselben Eigenwerte wie \(h(s,t)\) und ist symmetrisierbar. Im Anschluß an H. Marty und E. Schmidt wird die Existenz der Eigenwerte und der Nullösungen \(\varphi_i, \psi_1\) \((i=1, 2, \dots )\) in der Ebene und im Raume bewiesen. In den Abschnitten 6 und 7 folgt ähnlich wie an einer einer entsprechenden Stelle bei E. Schmidt (Inaugural-Dissertation) die Auflösung der nichthomogenen Integralgleichung. Desweiteren werden Entwicklungssätze willkürlicher auf \(S\) erklärter Funktionen nach \(\varphi_i\) und \(\psi_i\) \((i=1, 2, \dots )\) sowie Potentiale einfacher und doppelter Belegungen nach Poincaréschen Fundamentalfunktionen abgeleitet. In dem Abschnitt 9 wird erstens ein von einer singularitätenfreien Lemniskate begrenztes Gebiet, zweitens eins der beiden von einer Lemniskate mit Doppelpunkt begrenzten Gebiete betrachtet. Für das zuerst genannte Gebiet ist der Kern \(h(s, t)\) nicht abgeschlossen, für das andere ist er singulär.

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