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On a generalization of Lagrange’s series. (English) JFM 48.0396.01
Eigentlich handelt es sich hier nicht um eine Verallgemeinerung, sondern um Anwendungen der Lagrangeschen Reihenumkehrformel. Die trinomische Gleichung \[ x^n-u(ax+1)=0 \] wird in der Form aufgelöst: \[ x_k=\textstyle \sum\limits_{m=1}^{\infty } \displaystyle \frac{1}{m}\binom{m\!/n}{m-1}\, a^{m-1}\overset{\,n\hfill}{\sqrt{u^m}}e^{\tfrac{2\pi ikm}{n}}, \] die für \(|\,u\,|\leqq \dfrac{n^n}{|\,a\,|^n(n-1)^{n-1}}\) gilt. Eine für \(|\,u\,|\geqq \dfrac{n^n}{|\,a\,|^n(n-1)^{n-1}}\) gültige Formel erhält man durch die Substitution \(x=\dfrac{1}{y}\), \(u=\dfrac{1}{v}\).
Weiterhin werden auch die Lösungen der allgemeinen algebraischen Gleichung \(n\)-ten Grades \[ x^n-u(c_1x^{n-1}+c_2x^{n-2}+\dots +c_n)=0 \] nach Potenzen von \(\root n\of u\) explizit entwickelt. Für die analytische Fortsetzung über den Konvergenzkreis hinaus wird aber nur auf die bekannten Sätze über polynomische Reihen verwiesen.
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