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Two remarks on number theory. (Czech. French summary) JFM 55.0701.06
I. Euler hat den Satz bewiesen: Jede positive ganze Zahl läßt sich ebenso oft aus verschiedenen ganzen positiven Summanden überhaupt zusammensetzen, wie sie aus gleichen oder verschiedenen, aber ungeraden Summanden zusammengesetzt werden kann. (Siehe z. B. P. Bachmann, Die analytische Zahlentheorie (1894; JFM 25.0249.02), S. 30.) Es wird ein Satz bewiesen, der dazu in der multiplikativen Theorie ein Gegenstück bildet: Jede natürliche Zahl läßt sich ebenso oft in verschiedene natürliche Faktoren zerlegen, wie dieselbe in gleiche oder verschiedene nichtquadratische Faktoren zerlegt werden kann.
II. \(q_1, q_2, q_3, \ldots\) seien die der Größe nach geordneten natürlichen Zahlen \((> 1)\), die die Eigenschaft haben, keine vollständigen Potenzen einer natürlichen Zahl zu sein. Jede natürliche Zahl \(n > 1\) kann eindeutig in der Form \(n = q^\alpha_\nu\) geschrieben werden, wo \(\alpha\) und \(\nu\) eindeutig durch die Zahl \(n\) bestimmt sind. Die Anzahl \(p(x)\) der Zahlen \(q < x\), wo \(x\) eine nichtganze Zahl bedeutet, wird durch die Formel \[ p(x) = \mu(1)\{[x] -1\} +\mu(2)\{[x^{\tfrac12}] -1\} + \cdots + \mu(k)\{[x^{\tfrac1k}] -1\}, \] \[ k= \bigg[\dfrac{\log x}{\log 2}\bigg], \] berechnet. (\(\mu(n)\) bezeichnen die Möbiusschen Faktoren.) Das asymptotische Wachsen für \(p(x)\) wird durch die Formeln: \[ p(x) = \sum_{r=2}^\infty \dfrac{\log^r x}{\zeta(r)\cdot r!} + O(\log x), \] \[ p(x) = \mu(1)x + \mu(2)x^{\tfrac12} + \cdots + \mu(r)x^{\tfrac1r} + O\big(x^{\tfrac1{r+1}}\big) \] geliefert, wo \(r\) eine natürliche Zahl \(<\bigg[\dfrac{\log x}{\log 2}\bigg]\) bezeichnet.
MSC:
11A05 Multiplicative structure; Euclidean algorithm; greatest common divisors
11N25 Distribution of integers with specified multiplicative constraints
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