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Zerlegungen und Bewertungen von Gitterpolytopen. (German) Zbl 0567.52002

Unter einem Gitterpolytop im d-dimensionalen Raum \(R^ d\) verstehen wir die konvexe Hülle endlich vieler Gitterpunkte \(x_ i\in Z^ d\subset R^ d.\) Eine affine Abbildung \(u: R^ d\to R^ d\) heiße unimodular, wenn \(u(Z^ d)=Z^ d\) ist. Zwei Gitterpolytope P,Q heißen unimodular zerlegungsgleich, wenn es Zerlegungen \(P=\cup P_ i,\quad Q=\cup Q_ i\) und unimodulare Abbildungen \(u_ i\) gibt derart, daß \(u_ i(P_ i)=Q_ i\) und die Dimension von \(P_ i\cap P_ j\) und \(Q_ i\cap Q_ j\) für \(i\neq j\) höchstens d-1 ist; entsprechend wird unimodulare Ergänzungsgleichheit definiert. Dann gilt: Zwei Gitterpolytope in \(R^ d\) sind genau dann ergänzungsgleich, wenn sie gleiches (d-dimensionales) Volumen haben.
Ein Funktional \(\alpha\), das jedem Gitterpolytop P einen Wert \(\alpha\) (P) in einer gegebenen abelschen Gruppe A zuordnet, heiße unimodular invariant, wenn \(\alpha (uP)=\alpha (P)\) ist für unimodulares u; \(\alpha\) heißt Bewertung, wenn \(\alpha (P\cup Q)=\alpha (P)+\alpha (Q)-\alpha (P\cap Q)\) gilt, sofern P, Q, \(P\cup Q,\quad P\cap Q\) Gitterpolytope sind. \(E_ i\) sei das vom Nullpunkt und den ersten i Koordinateneinheitspunkten aufgespannte i-dimensionale Simplex. Dann gilt: Eine unimodular invariante Bewertung \(\alpha\) von Gitterpolytopen ist eindeutig bestimmt durch ihre Werte \(\alpha (E_ i)\) \((i=0,1,...,d)\); umgekehrt können diese Werte auch beliebig vorgeschrieben werden.

MSC:

52Bxx Polytopes and polyhedra
52C17 Packing and covering in \(n\) dimensions (aspects of discrete geometry)
52A20 Convex sets in \(n\) dimensions (including convex hypersurfaces)
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Full Text: Crelle EuDML