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\(L^ p\) approximation of generalized bi-axially symmetric potentials with fast growth. (English) Zbl 0883.31001

Soient \(H\) une fonction doublement paire des variables réelles \(x\), \(y\), solution de \(\Delta H+{\alpha\over x} H_x'+{\beta\over y} H_y'= 0\) \((\alpha,\beta >0)\) sur un voisinage de l’origine, et \(R\) la borne sup des rayons \(\rho\) tels que le dévelopment \(H(r\cos\theta, r\sin\theta)= \sum^\infty_{n=0} a_nr^{2n}P_n(\cos 2\theta)\) converge uniformément pour \(r\leq \rho\). Si \(R<\infty\) et \(M(r)= \sup_\theta|H(r\cos\theta, r\sin\theta)|\to\infty\) quand \(r\to R\), on mesure la croissance de \(M(r)\) par le plus petit entier \(q\) tel que \(\ln^{(q)}M(r)/\ln(R/R- r)\) ait une \(\limsup\) finie \(\rho_q\) quand \(r\to R\) et par les \(\limsup\) et \(\inf\) de \(\ln^{(q-1)}M(r)/(R/R- r)\); on établit des relations (fort compliquées) entre ces quantités et l’erreur, évaluée en norme \(L^p\) sur une circonférence de rayon \(<R\), commise en approchant \(H\) au mieux par un polynôme de degré \(\leq 2n\) ayant les mêmes propriétés que \(H\).

MSC:

31A15 Potentials and capacity, harmonic measure, extremal length and related notions in two dimensions
35B05 Oscillation, zeros of solutions, mean value theorems, etc. in context of PDEs
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