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Über die Reibung der Schmierschicht zwischen Zapfen und Zapfenlager. (Russian) JFM 35.0766.01
Moskau. 31 S. (1904).
Die Bewegung der zähen Flüssigkeit, welche in der Schmierschicht zwischen Zapfen und Zapfenlager sich befindet, ist zuerst von Petrow untersucht, und dieser hat die Grundlage der hydrodynamischen Theorie der Zapfenreibung gegeben. Petrow nahm an, daß die Schmierschicht durch zwei konzentrische Zylinderflächen begrenzt ist. Der Einfluß der Exzentrizität des Zapfens und des Zapfenlagers auf die beobachtete Erscheinung war von Osborne Reynolds mit Hülfe einer annähernden Analyse untersucht worden (Lond. Philos. Trans. 187; F. d. M. 18, 946, 1886, JFM 18.0946.04). Die Reynoldssche sehr komplizierte Analyse wurde von Sommerfeld vereinfacht (vgl. das vorstehende Referat, JFM 35.0765.03); derselbe wies eine theoretische Abhängigkeit zwischen den Momenten der Reibungskraft, des Zapfendruckes und der Geschwindigkeit der Zapfenumgebung nach und zeigte, daß die Proportionalität der Reibungsmomente der Zapfengeschwindigkeit oder des Zapfendrucks zwei Grenzfälle des allgemeinen Gesetzes der Zapfenreibung darstellt. Der erste Grenzfall tritt ein bei großer, der zweite bei kleiner Geschwindigkeit des Zapfens.
Die Analyse Sommerfelds ist ebenso wie die von Reynolds nur eine angenäherte.
Die Autoren der gegenwärtigen Abhandlung jedoch geben eine genaue Analyse des Problems. Sie betrachten die Kreise des Zapfenlagers und des Zapfens als die Koordinatenkurven \(\eta = \eta_0\), \(\eta = \eta_1\) in dem bipolaren Koordinatensystem von Neumann, welches mit dem kartesischen System durch die Gleichung \[ x + yi = ai\frac{\sin(\xi+\eta i)}{1 - \cos(\xi+\eta i)} \] verbunden ist.
Es erweist sich, daß als Stromfunktion in dem betrachteten Problem die Funktion \[ \begin{split} W = D(\eta-\eta_0)\\ + \frac{A\sinh(\eta-\eta_0) + B(\eta-\eta_0)\sinh\eta + C\cos\xi[\sinh(\tau-2\eta) - \sinh\sigma]}{\cosh\eta - \cos\xi}\end{split} \] angenommen werden kann. Dieselbe genügt der Differentialgleichung des Problems \[ \left(\frac{\partial^2}{\partial\xi^2} + \frac{\partial^2}{\partial\eta^2}\right) \left\{(\cosh\eta - \cos\xi)\left(\frac{\partial^2W}{\partial\xi^2} + \frac{\partial^2w}{\partial\eta^2}\right)\right\} = 0 \] und erfüllt alle für die Umgebung der Kreise \(\eta = \eta_0\), \(\eta = \eta_1\) gestellten Grenzbedingungen, sobald die Koeffizienten \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) in entsprechender Weise gefunden sind.
Die Parameter \(\tau\), \(\sigma\) haben folgende Bedeutung: \[ \tau = \eta_1 + \eta_0,\quad \sigma = \eta_1 - \eta_0. \] Nachdem die Koeffizienten gefunden sind, kommen die Autoren zu folgenden genauen Formeln für den Zapfendruck \(P\) und für das Moment \(L\) der Reibungskraft: \[ \begin{aligned} P &= 4\pi\mu U \frac{\sqrt{(1+\varkappa)^2 + 1 - 2(1+\varkappa)\cosh\sigma}}{\sigma[(1+\varkappa)^2 + 1] - 2(1+\varkappa)\sinh\sigma},\\ L &= 4\pi\mu r_1U \frac{\sigma(1+\varkappa)^2\coth\sigma - 2(1+\varkappa)\cosh\sigma + 1}{\sigma[(1+\varkappa)^2 + 1] - 2(1+\varkappa)\sinh\sigma}.\end{aligned} \] Hier ist \(U\) die Geschwindigkeit der Zapfenumgebung, \[ \varkappa = \frac{r_0-r_1}{r_1} = \frac{\delta}{r_1}, \] wo \(r_0\) der Radius des Zapfenlagers und \(r_1\) der Radius des Zapfens, \(\mu\) der Koeffizient der inneren Reibung.
Wenn \(\varkappa\) sehr klein ist, können die obigen Formeln in folgende angenäherte Form gebracht werden: \[ \frac PU = \frac{12\pi\mu\cosh^2\eta_0}{\sigma_0^2\sinh\eta_0(2\cosh^2\eta_0 + 1)}, \] \[ \frac L{Ur_1} = 4\pi\mu \frac{(\cosh^2\eta_0 + 2)}{\sigma_0(2\cosh^2\eta_0 + 1)}, \] wo \(\sigma_0 = \lg(1+\varkappa)\).
Die Autoren nehmen in diesen Formeln an, daß \[ \alpha = \frac1{\cosh\eta_0},\quad \sigma_0 = \varkappa = \frac{\delta}{r_1} \] und bekommen dann die Formeln von Sommerfeld: \[ \frac PU = 12\pi\mu\frac{r_1^2}{\delta^2} \frac{\alpha}{(2+\alpha^2)\sqrt{1-\alpha^2}}, \] \[ \frac L{r_1U} = 4\pi\mu \frac{r_1}{\delta} \frac{1+2\alpha^2}{\alpha^2+2}. \]