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A finiteness theorem for holomorphic families of Riemann surfaces. (English) Zbl 0696.30044
Holomorphic functions and moduli II, Proc. Workshop, Berkeley/Calif. 1986, Publ., Math. Sci. Res. Inst. 11, 207-219 (1988).
[For the entire collection see Zbl 0646.00005.]
Es sei B eine Riemannsche Fläche, ferner \(\hat M\) eine 2-dimensionale komplexe Mannigfaltigkeit und C eine nicht singuläre 1-dimensionale analytische Teilmenge von \(\hat M\) oder \(C=\emptyset\). Es existiere eine holomorphe Abbildung \({\hat \pi}\): \(\hat M\to B\) mit den folgenden beiden Eigenschaften:
(i) \({\hat \pi}\) ist eigentlich und von maximalem Rang in jedem Punkt von \(\hat M,\)
(ii) Mit \(M:=\hat M-C\) und \(\pi:={\hat \pi}| M\) sei für jedes \(t\in B\) die Faser \(S_ t:=\pi^{-1}(t)\) von M über t eine irreduzible analytische Teilmenge von M, die als Riemannsche Fläche von einem festen endlichen Typ (g,n) ist, d.h. \(S_ t\) gehe aus einer kompakten Riemannschen Fläche vom Geschlecht g durch n Punktierungen hervor.
Das Tripel (M,\(\pi\),B) heißt dann eine holomorphe Familie von Riemannschen Flächen vom Type (g,n) über B. Das Hauptergebnis der vorliegenden Arbeit ist der Beweis des folgenden Satzes, der als Shafarevich-Vermutung für Funktionekörper bekannt ist:
I. Endlichkeitssatz: Falls B von endlichem Typ ist, existieren nur endlich viele nicht isomorphe und lokal nicht triviale Familien (M,\(\pi\),B) eines festen endlichen Typs (g,n) mit \(2g-2+n>0\). Spezialfälle wurden behandelt von A. N. Parshin [Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. mat. 32, 1119-1219 (1968; Zbl 0181.239)] und von S. Yu. Arakelov [ibid. 35, 1269-1293 (1971; Zbl 0238.14012)]. Der folgende Satz ist als Modell-Vermutung für Funktionenkörper bekannt und wurde von Manin, H. Grauert [Inst. Haut. Étud. Sci., Publ. Math. 25, 131- 149 (1965; Zbl 0137.405)] und M. Miwa [J. Math. Soc. Japan 18, 182-188 (1966; Zbl 0142.187)] bewiesen:
II. Endlichkeitssatz für Schnitte: Es sei B von endlichem Typ und die Familie (M,\(\pi\),B) vom Typ (g,0) mit \(g\geq 2\). Ist diese Familie lokal nicht trivial, so besitzt sie nur endlich viele nicht konstante holomorphe Schnitte. Ist sie lokal trivial, so besitzt sie nur endlich viele nicht konstante holomorphe Schnitte.
Parshin bewies die Implikation I \(\Rightarrow\) II. In der vorliegenden Arbeit wird diese Implikation direkter und mit einem elementaren Argument hergeleitet. Die vorliegende Arbeit basiert wesentlich auf der Teichmüllertheorie und der Theorie der Kleinschen Gruppen. Insbesondere wird ein Starrheitssatz bewiesen, der auch unabhängig von der vorliegenden Anwendung interessant ist. Es sei \(\rho\) : \(\tilde B\to B\) die universelle Überlagerung von B und G eine auf der oberen Halbebene U operierende endlich erzeugte Fuchssche Gruppe erster Art, derart daß der Quotient \(S=U/G\) eine Riemannsche Fläche vom Type (g,n) ist. Schließlich sei T(G) der Teichmüllerraum von G. In dieser Situation existiert eine holomorphe Abbildung \(\Phi\) : \(\tilde B\to T(G)\) mit geeigneten Eigenschaften, die als Darstellung von (M,\(\pi\),B) in T(G) bzeichnet wird. \(\Phi\) induziert einen Homomorphismus \(\chi_{\Phi}: \Gamma \to Mod(G)\) der Gruppe \(\Gamma\) der Decktransformationen von \(\rho\) in die Teichmüllersche Modulgruppe Mod(G) von T(G), derart, daß \[ \Phi \circ \gamma =\chi_{\Phi}(\gamma)\circ \Phi \text{ für alle }\gamma \in \Gamma \] gilt. Der Homomorphismus \(\chi_{\Phi}\) heißt die Monodromie von \((M,\pi,B)\) bzgl. \(\Phi\).
Starrheitssatz: Es sei B von endlichem Typ und für \(j\in \{1,2\}\) sei die Familie \((M_ j,\pi_ j,B)\) lokal nicht trivial und vom Typ (g,n). Wenn Darstellungen \(\Phi_ j\) von \((M_ j,\pi_ j,B)\), \(j\in \{1,2\}\), dieselbe Monodromie \(\chi_{\Phi_ 1}=\chi_{\Phi_ 2}\) induzieren, so ist \(\Phi_ 1=\Phi_ 2\) und die Familien \((M_ 1,\pi_ 1,B)\) und \((M_ 2,\pi_ 2,B)\) sind isomorph.
Reviewer: E.Gottschling

MSC:
30F20 Classification theory of Riemann surfaces
32G15 Moduli of Riemann surfaces, Teichmüller theory (complex-analytic aspects in several variables)