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On some elementary infinite series. (Ueber einige elementare unendliche Reihen.) (German) JFM 08.0136.03

Es werden die Eigenschaften der Reihe \[ \sum_{\lambda = 1}^{\lambda = \infty} \left( \frac{1}{x} \right)^{\lambda} \] und einiger verwandten, in der elementaren Algebra und in der Analysis, und zwar in der Theorie der Convergenz und Divergenz, auftretenden Reihen abgeleitet; und zwar nicht, wie gewöhnlich, aus den Summationsformeln, sondern mit Hülfe einer Differentialgleichung \(n^{\text{ter}}\) Ordnung, deren particuläre Integrale eben diese Reihen sind. Diese Differentialgleichung bietet, da sie mit der Differentialgleichung erster Ordnung ein Integral gemeinsam hat, ein Beispiel für die Reductibilität der Differentialgleichungen. Hieraus ergiebt sich die Integration einer Reihe specieller Differentialgleichungen. Den Schluss der Note bilden einige Reductionsformeln obiger Reihen.

MSC:

40A05 Convergence and divergence of series and sequences
34A05 Explicit solutions, first integrals of ordinary differential equations