On definite polynomials. (Über definite Polynome.) (German) JFM 43.0280.03

Hurwitz, A.

Math. Ann. 73, 173-176 (1912).

Es handelt sich um den Beweis des Satzes: Wenn \[ f(x)=c_0+c_1x+\dots +c_{2n}x^{2n} \] ein reelles, nicht identisch verschwindendes Polynom ist, das für jeden reellen Wert von \(x\) positiv oder Null ist, so sind \[ \begin{aligned} f_1(x)=&f(x)+f'(x)+\dots +f^{(2n)}(x),\\ f_2(x)=&f(x)+\frac{1}{1\,!}f''(x)+\frac{1}{2\,!} f^{(\prime\prime\prime\prime)}(x),+\dots + \frac{1}{n\,!}f^{(2n)}(x)\end{aligned} \] für jeden reellen Wert von \(x\) positiv. Für \(f_1(x)\) hat dies der Verf. früher bewiesen, für \(f_2(x)\) ist der Satz in den an Hilberts Beweis des Waringschen Satzes sich anschließenden Arbeiten benutzt worden (F. d. M. 40, 236 (JFM 40.0236.*), 1909). Der Verf. gibt einen sehr einfachen Beweis, indem er zuerst \(f(x)\) als Summe von Quadraten darstellt und dann für jedes Quadrat die den Funktionen \(f_1(x)\) und \(f_2(x)\) entsprechenden Funktionen direkt als Summe von Quadraten darstellt.

Reviewer: Fueter, Prof. (Karlsruhe)

MSC:

11E25

Sums of squares and representations by other particular quadratic forms

Keywords:

positive polynomials of one variable

References:

[1]	Math. Ann. 33, S. 259.
[2]	Hausdorff, Zur Hilbertschen Lösung des Waringschen Problems, Math. Ann.67, S. 301. Stridsberg, Sur la démonstration de M. Hilbert du théorème de Waring, Math. Ann. 72, S. 145. Remak, Bemerkung zu Herrn Stridsbergs Beweis des Waringschen Theorems, ib. S. 153.