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Über Abels Verallgemeinerung der binomischen Formel. (German) JFM 33.0449.04
Man bezeichne mit \(r\) und \(s\) zwei (positive oder negative) ganze Zahlen, mit \(u, v, x_1, x_2, \dots ,x_n\) unbeschränkt veränderliche Größen. Die Funktion \(F_{r,s}(u, v | x_1, x_2, \dots, x_n)\) Oder \(F_{r,s}\) werde durch \[ (\text I) \quad \begin{cases} F_{r,s} = \varSigma (u + \varepsilon_1 x_1 + \varepsilon_2 x_2 + \cdots + \varepsilon_n x_n )^\varrho \\ \qquad\qquad\qquad\times (v + \varepsilon_1' x_1 + \varepsilon_2' x_2 + \cdots + \varepsilon_n' x_n)^\sigma \\ \qquad\qquad [\varrho = r + \varSigma \varepsilon_i,\;\sigma = s + \varSigma \varepsilon_i',\;i = 1, 2, \dots, n]\end{cases} \] erklärt, worin \(\varepsilon_i'\) für \(1-\varepsilon_i\) geschrieben und die Summe in der Weise zu bilden ist, daß \( \varepsilon_1, \varepsilon_2, \dots, \varepsilon_n\) unabhängig voneinander die beiden Werte 0 und 1 erhalten. Dann gelten die Formeln: \[ \begin{aligned} & (1) \quad \begin{cases} F_{r,s} = F_{r+1, s} ( u + x_1, v| x_2, \dots, x_n )\\ \hskip3cm + F_{r, s+1} (u, v + x_1 | x_2, \dots, x_n ), \end{cases}\\ & (2) \quad \begin{cases} F_{r,s} =u F_{r-1,s}\\ \hskip2cm+ \sum_{k=1}^n x_k F_{r, s} (u + x_k , v | x_1, \dots, x_{k-1}, x_{k+1}, \dots, x_n ), \end{cases}\\ & (3) \quad \begin{cases} F_{r,s} =v F_{r,s-1}\\ \hskip2cm + \sum_{k=1}^n x_k F_{r, s} (u, v + x_k | x_1, \dots, x_{k-1}, x_{k+1}, \dots, x_n ), \end{cases}\\ & (4) \quad \begin{cases} \frac {\partial F_{r,s}}{\partial u} =r F_{r-1,s}\\ \hskip2cm + \sum_{k=1}^n F_{r, s} (u + x_k, v | x_1, \dots, x_{k-1}, x_{k+1}, \dots, x_n ), \end{cases} \\ & (5) \quad \begin{cases} \frac {\partial F_{r,s}}{\partial v} =s F_{r,s-1}\\ \hskip2cm + \sum_{k=1}^n F_{r, s} (u, v + x_k | x_1, \dots, x_{k-1}, x_{k+1}, \dots, x_n ), \end{cases} \\ & (6) \quad \frac {\partial F_{r,s}}{\partial x_1} =\begin{cases} (r+1) F_{r,s}(u+ x_1, v| x_2, \dots, x_n) \\ \hskip2cm + (s +1) F_{rs} (u, v + x_1 | x_2, \dots, x_n) \\ + \sum_{k=2}^n F_{r, s} (u, v | x_2 \dots, x_{k-1}, x_k + x_1, + x_{k+1}, \dots, x_n ). \end{cases} \end{aligned} \]
Im besonderen für eine einzige Veränderliche \(x_l\) ist: \[ (7) \quad F_{r,s} (u, v | x_1 ) = (u + x_1 )^{r+1} v^s + u^r (v +x_1)^{s+1}. \] Für die Funktion \(F_{-1,0} (u, v | x_1, \dots, x_n)\) ist \[ \begin{aligned} & (\text{II}) \quad F_{-1,0} = (u+v+x_1+x_2+\cdots+x_n)^n \tfrac 1u,\\ & (\text{II'}) \quad \begin{cases} \varSigma (u + x_{\alpha_1} + x_{\alpha_2} + \cdots + x_{\alpha_\lambda})^{\lambda -1} \\ \times (v - x_{\alpha_1} - x_{\alpha_2} - \cdots - x_{\alpha_\lambda})^{n-\lambda } = \frac 1u (u + v)^n; \end{cases} \end{aligned} \] für \(x_1 = x_2 = \cdots = x_n\) geht (II’) in die Abelsche Formel über: \[ \sum_{\lambda = 0}^n \left( \begin{matrix} n\\ \lambda \end{matrix} \right) (u + \lambda x)^{\lambda -1} (v - \lambda x)^{n-\lambda} = \tfrac 1u (u + v)^n. \] Setzt man in \((3) r = - 1\), \(s = 0,\) so kann man \(F_{-1, -1}\) bestimmen, und es ergibt sich: \[ (\text{III}) \quad \begin{cases} \varSigma (u + x_{\alpha_1} + \cdots + x_{\alpha_\lambda})^{\lambda -1} (v + x{\beta_1} + \cdots + x_{\beta_\mu})^{\mu -1}\\ \hskip1cm = (u + v + x_1 + x_2+ \cdots + x_n)^{n-1} = \left( \frac 1u + \frac 1v \right) . \end{cases} \]
Setzt man \(u + v + x_1 + x_2 + \cdots + x_n = s\) und bezeichnet die elementar-symmetrischen Funktionen von \(x_1, x_2, \dots, x_n\) mit \(f_1, f_2, \dots, f_n,\) so erhält man: \[ (\text{IV}) \quad \begin{cases} \varSigma (u + x_{\alpha_1} + \cdots + x_{\alpha_\lambda})^{\lambda} (v + x_{\beta_1} + \cdots + x_{\beta_\mu})^{\mu}\\ \hskip1cm = s^n + |\underline 1 f_1 s^{n-1} + |\underline 2 f_2 s^{n-2} + \cdots + |\underline n f_n . \end{cases} \]

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References:
[1] S. Mathematische Annalen, Bd. 39, S. 1 ff.
[2] Abel, Oeuvres complètes, nouvelle édition, vol. I, p 102. · JFM 13.0020.01
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