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Zwei Beweise eines von Herrn Fatou vermuteten Satzes. (German) JFM 45.0385.05
Es handelt sich um den hübschen, zunächst sehr paradox anmutenden Satz: Ist der Einheitskreis der wahre Konvergenzkreis der Potenzreihe \(a_0+a_1x+a_2x^2+\dots\), so läßt sich stets eine Folge von Vorzeichen \(\varepsilon_0, \varepsilon_1, \dots, \varepsilon_\nu, \dots\) (alle \(=\pm 1\)) derart bestimmen, daß die Reihe \(\varepsilon_0a_0+ \varepsilon_1a_1x+ \cdots+\varepsilon_na_nx^n+ \dots\) nunmehr den Einheitskreis zur natürlichen Grenze hat. – Anders ausgedrückt: Es gibt keine sich nur auf die absoluten Beträge der Koeffizienten beziehende Bedingung, die zur Folge hätte, daß die Potenzreihe über ihren Konvergenzkreis hinaus fortsetzbar ist.

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References:
[1] Acta Mathematica, Bd. 30, S. 335 ff. (vgl. S. 400).
[2] Annales scient. de l’École Normale supérieure, 3te Folge, Bd. 18 (1896) 367–399. Acta Mathematica, Bd. 22, S. 65–88.
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