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On arithmetic properties of certain transcendenal functions. (Ueber arithmetische Eigenschafen gewisser transcendenter Functionen.) (German) JFM 15.0329.01
Die merkwürdigen Eigenschaften der Exponentialfunction, welche durch die homogene lineare Differentialgleichung erster Ordnung \[ \frac{dy}{dz}=y \] definirt wird, sind von den Herren Hermite (“Sur la fonction exponentielle ”. Paris 1874) und Lindemann (Math. Ann. XX. 213) untersucht worden. Herr Hurwitz hat sich nun die Frage vorgelegt, ob es noch andere homogene lineare Differentialgleichungen irgend einer Ordnung giebt, deren Integrale ähnliche arithmetische Eigenschaften zeigen, wie die Exponentialfunction. In dieser Hinsicht werden nun die Gleichungen von der Form \[ azy''=by'+y \] untersucht, deren Integrale, als Functionen der unabhängigen Variabeln \(z\), der Exponentialfunction verwandt sind. Hierbei ist eine Methode befolgt, die Herr Weierstrass zu einem neuen Beweise für die Transcendenz von \(e\) und \(\pi\) eingeschlagen hat. Als Resultat der Untersuchung ergeben sich die folgenden beiden Sätze:
1)“Man verstehe unter \(y\) ein beliebiges Integral der Differentialgleichung \[ azy''=by'+y; \] ferner sei \(f(z) \) eine ganze Function von \(z\) vom Grade \(n+1\) und \(A\) der Coefficient von \(z^{n+1} \) in \(f(z)\). Dann bestehen, für \(\lambda=0,1,2,\dots,n,\) die folgenden identischen Relationen: \[ \int \frac{{[A^{n+2}f(z)]}^m}{m!} z^{\lambda}ydz=f(z) \{G_{\lambda}(z,m)y + H_{\lambda}(z,m)y'\}+ g_{\lambda}(z,m)y+h_{\lambda}(z,m)y', \] \[ \int \frac{{[A^{n+2} f(z)]}^m} {m!}\;z^{\lambda}y'dz=f(z)\{G_{n+1+\lambda}(z,m)y+H_{n+1+\lambda}(z,m)y'\}+g_{n+1+ \lambda}(z,m)y+h_{n+1+\lambda}(z,m)y'. \] Hierbei bedeuten, für \(k=0,1,2,\dots,2n+1\), \(G_k(z,m)\) und \(H_k(z,m)\) ganze rationale Functionen von \(z\); ferner \(g_k(z,m)\) und \(h_k(z,m)\) ganze Functionen von \(z\) von nicht höherem als dem \(n^{\text{ten}}\) Grade, deren Coefficienten sich ganz und ganzzahlig aus den Coefficienten von \(f(z)\) zusammensetzen.” Und: 2) “Unter Beibehaltung der im Satze 1) verwendeten Bezeichungen und unter der Voraussetzung, dass die Wurzeln der Gleichung \(f(z)=0\) von einander und von Null verschieden sind, können die beiden. Gleichungen \[ c_0 g_0(z,m)+c_1 g_1 (z,m) + \cdots + c_{2n+1} g_{2n+1} (z,m) =0, \] \[ c_0 h_0(z,m)+c_1 h_1 (z,m) + \cdots + c_{2n+1} h_{2n+1} (z,m) =0 \] nur dann für jeden Wert von \(z\) bestehen, wenn \[ c_0=c_1=c_2= \cdots = c_{2n+1} =0 \] ist. Oder auch: Unter den angegebenen Voraussetzungen ist die aus den Coefficienten der Functionen \(g_k(z,m),h_k(z,m)\) \((k=0,1,\dots,2n+1)\) gebildete Determinante von Null verschieden.”

MSC:
34M15 Algebraic aspects (differential-algebraic, hypertranscendence, group-theoretical) of ordinary differential equations in the complex domain
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