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The Riemann zeta and a normalization of complex-number sequences. (English) Zbl 0718.11037

Es sei M die Menge aller Folgen komplexer Zahlen \(\neq 0\). Für \(b=(b_ n)_{n\geq 1}\in M\) sei \(h(b)=(c_ k)_{k\geq 1}\) mit \(c_ 1=1/b_ 1\), \(c_{k+1}=c_ k(b_ k-1)/b_{k+1}\) \((k>0)\), und damit werde \(S(b)=\sum^{\infty}_{k=1}c_ k\) gesetzt. Die Verff. entwickeln explizite Formeln für h und zeigen insbesondere \[ \zeta(z)=(1-S((p_ n^ z)_{n\geq 1}))^{-1}\text{ für }Re(z)>1, \] wo \(p_ n\) die n-te Primzahl bedeutet. Für beliebiges \(z\neq 0\) wird bewiesen, daß \(S((z)_{n\geq 1})\) im Falle \(Re(z)>1/2\) gegen 1 konvergiert und andernfalls divergiert. Allgemeiner wird gezeigt, daß zu jeder komplexen Zahl z überabzählbar viele \(b=(b_ n)_{n\geq 1}\in M\) mit \(b_ n\neq 1\) für alle \(n\geq 1\) und \(S(b)=z\) existieren.
Die Verff. beweisen außerdem, daß der unendliche gerichtete Graph mit den Kanten \((b,h(b))\) \((b\in M)\) keine nichttrivialen endlichen Zyklen ungerader Länge und keine 2-Zyklen enthält.
Reviewer: W.Haneke (Marburg)

MSC:

11M06 \(\zeta (s)\) and \(L(s, \chi)\)
40A05 Convergence and divergence of series and sequences
05C20 Directed graphs (digraphs), tournaments
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