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Large time behaviour of the solutions to some nonlinear evolution equations. (English) Zbl 0583.35007

Die Übersichtsarbeit berichtet über neue Ergebnisse zum qualitativen Verhalten der Lösungen ”klassischer” partieller Differentialgleichungen (Wärmeleitung, Welle, Saite). Insbesondere wird das Lösungsverhalten für große Zeiten t (t\(\to \infty)\) abgeschätzt. Es sind nur Beweisskizzen oder Verweise auf Beweise in weiteren Arbeiten des Verf. gegeben. Im Einzelnen: 1.) untersucht wird die Wärmeleitungs- und Reaktions-Diffusionsgleichung \(u_ t-u=f(t,x,u)\) auf \({\mathbb{R}}^+\times \Omega\) (\(\Omega\) offen, beschränkt in \({\mathbb{R}}^ n)\) mit Dirichlet- oder Neumann-Randbedingungen. Ferner: 2.) Wellengleichung \(u_{tt}- \Delta u=f(t,x,u,u_ t)\) auf \({\mathbb{R}}^+\times \Omega\), \(u=0\) auf \(\partial \Omega.\)
Dabei \(speziell:\)
a)f(t,x,u,u\({}_ t)=-a(x)g(u_ t)\), g monoton steigend. (In diesem Fall ist Theorem 2.1 interessant, das besagt, daß die Lösung u(t,x) für große t der Lösung \(\xi\) (t,x) von \(\xi_{tt}-\Delta \xi =0\) beliebig nahe kommt.)
b) \(f(t,x,u,u_ t)=f(t,x)-g(u_ t)\), und
c) \(f(t,x,u,u_ t)=-g(t,x,u)\) oder einfach \(=-g(u)\). Bei der schwingenden Saite mit hemmendem Punkt (Flaggiolett) gelangt man zu fast periodischen Lösungen.
Reviewer: F.Wille

MSC:

35B10 Periodic solutions to PDEs
35B15 Almost and pseudo-almost periodic solutions to PDEs
35B40 Asymptotic behavior of solutions to PDEs
35K05 Heat equation
35L05 Wave equation
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Full Text: EuDML