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On the formation of the resultant of two equations. (Ueber die Bildung der Resultante zweier Gleichungen.) (German) JFM 03.0059.01
Das Problem, die Resultante zweier Gleichungen mit einer Unbekannten, oder, was dasselbe ist, zweier Formen mit zwei homogenen Variabeln zu bilden, ist seit Euler, Bezout bis auf Sylvester, Cayley wiederholt behandelt worden, worüber man Baltzer’s Determinantentheorie vergleichen mag. Aber im Sinne der Invariantentheorie sind die bez. aufgestellten Bildungen, welche im Wesentlichen in sehr grossen Determinanten bestehen, deswegen von geringerem Werthe, weil die Eigenschaften, welche der Resultante als Invariante zukommen, aus ihnen nur schwer zu ersehen sind. Ein erstes Beispiel für eine andere Auffassung der Resultantenbildung gab eine Arbeit von Herrn Clebsch im 58ten Bande des Borchardt’schen Journals, in welcher die Resultante einer binären Form \(n^{\text{ten}}\) und einer binären Form zweiten Grades auf die Bildung einer Reihe intermediärer Invarianten und Covarianten zurückgeführt ist. In gleichem Sinne hat nun Herr Gordan das allgemeine Problem der Resultantenbildung für zwei binäre Formen behandelt, und zwar bildet er nicht nur die Resultante, d. h. diejenige Invariante, deren Verschwinden die Existenz einer gemeinsamen Wurzel anzeigt, sondern auch eine Covariante, deren Coefficienten den Potenzen dieser gemeinsamen Wurzeln alsdann proportional werden. Die Behandlung des Problems, welche immer an die Cayley’sche Form der Resultantenbildung anknüpft, wird verhältnissmässig schwieriger, wenn der Grad der beiden Formen ein ungleicher ist. Für beide Fälle wird eine Anzahl von Beispielen vollständig durchgeführt, so dass die Endausdrücke der Resultanten für alle Fälle gegeben sind, in denen keine der Formen den 5ten Grad übersteigt. Diese Endausdrücke erhält man durch Wiederholung der als Ueberschiebung bezeichneten in der Invariantentheorie üblichen Operation. Bemerkt mag noch werden, dass das hauptsächliche Hülfsmittel zur Begründung der verhältnissmässig einfachen Resultate in einer Formel besteht, vermöge deren eine binäre Form mit zwei Reihen homogener Variabeln auf die Bildung der Polaren eines Systems binärer Formen mit nur einer Reihe homogener Variabeln zurückgeführt wird. Dieselbe Formel mit vielfachen Anwendungen findet sich in der etwas später erschienenen “Theorie der binären Formen” von Clebsch.

MSC:
15A72 Vector and tensor algebra, theory of invariants
12D99 Real and complex fields
14N10 Enumerative problems (combinatorial problems) in algebraic geometry
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