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Verschiedene Bemerkungen elementarer Natur über die Grundpolynome, die bei den parabolischen Interpolationen auftreten. (German) Zbl 0066.31101

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[1] In der älteren Sprache der Analysten lautet dieses Resultat, daß die zur Stellex=x k gehörige Grundfunktionh k(x) der Hermiteschen Interpolation in der ”Umgebung” vonx k ”gleich” ist ”bis auf Größen dritter Ordnung, in Bezug aufx k”. Vielleicht darf ich noch zusammenfassend hinzufügen, daß der Wert der Ordinate vony=h k(x) an der Stellex=x k den Wert 1 hat, die Tangente an dieser Stellex=x k, y=1 der Abszissenaxe parallel läuft, und daß dieKrümmung vony=h k(x) and dieser Stelle gleich ist.
[2] Ich meine natürlich, daß fürh k(x) eine zweiseitige Umgebung der Stellex=x k existiert, in welcher,x k ausgenommen, überallh k(x)<h k(xk)=1 gültig ist. Ich setze hier voraus, daß mindestens zwei Interpolationsstellen gegeben sind, alson=2,3,.... Übrigens ist der Satz auch im Falle einer einzigen Interpolationsstellex 1 gültig, da doch dannh 1(x) ist, aber natürlich mit der Modifikation, daß das Maximum. vonh 1(x) fürx=x 3 nicht isoliert ist.
[3] Überigens enthält dieser § 10, der die Überschrift trägt: ”Über die wichtigsten Eigenschaften der Grundfunktionen beider Art im Falle Tschebyscheffscher Abszissen”, auf S. 721, u. A. einen nicht mehr so leicht beweisbaren Satz, der sich auf bezieht, und später von verschiedenen Autoren kunstvoll geeignet verallgemeinert wurde, für den Fall, in welchem die Abszissen nicht mehr die Tschebyscheffschen, sondern allgemeinere, in diesem oder jenem Sinne ”normal” verteilte Abszissen des Interpolationsintervalls (, +1) sind. Mein Satz lautet: ”Die Summe der absoluten Beträge der Grundpolynome zweiter Art , d. h. die Summe , konvergiert im Falle Tschebyscheffscher Abszissen zu Null, wennn, u. zw. gleichmäßig im Intervalle 1”.
[4] Dies folgt aus der Gleichung (8):
[5] Ist, d. h. hat die Stammparabel {\(\omega\)}(x) an, der Stellex k, wo sie diex-Axe schneidet, einen Inflexionspunkt, so ist die Forderung (1) fürx=x k natürlich ”erfüllt”. Wir sagen in diesem Falle, daßX k=.
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