On the typical representation of the binary form. (Sulla rappresentazione tipica delle forme binarie.) (Italian) JFM 01.0058.01

Clebsch, Alfred; Gordan, Paul

Brioschi Ann. (2) I, 23-79 (1867).

Der Zweck der Arbeit ist der, die binäre Form fünften Grades \[ u =ax_{1}^{5} +5bx_{1}^{4}x_{2} +10cx_{1}^{3}x_{2}^{2} +10dx_{1}^{2}x_{2}^{3} +5ex_{1}x_{2}^{4} +fx_{2}^{5} \] in typischer Form darzustellen, d. h. so, dass die Coefficienten der neuen Form Invarianten werden, wenn man zwei lineare Covarianten als Veränderliche einführt. Bildet man die Invarianten \(i\) und \(j\) der Form vierten Grades \(\frac{1}{5}\left(x_{1}\frac{\partial u(y)}{\partial y_{1}} +x_{2}\frac{\partial u(y)}{\partial y_{2}}\right),\) so sind \[ \begin{aligned} & A =i_{11}i_{22}-i_{12}^{2},\\ & B =\frac{1}{2}(i_{11}\tau_{22} -2i_{12}\tau_{12} +i_{22}\tau_{11}),\\ & C =\tau_{11}\tau_{22} -\tau_{12}^{2}\end{aligned} \] die drei Invarianten von \(u,\) deren Ordnung bezüglich 4, 8, 12 ist. Dabei ist \(\tau =2(j_{11}j_{22} -j_{12}^{2}).\) Ferner sei \(\vartheta =i_{1}\tau_{2} -\tau_{1}i_{2},\) so findet man \[ \vartheta_{11}\vartheta_{22} -\vartheta_{12}^{2} =AC -B^{2},\;\;\vartheta^{2} =-\{A\tau^{2} -2B\tau i +Ci^{2}\}. \] Weiter führen wir die lineare Covariante \[ \alpha =\alpha_{1}x_{1} +\alpha_{2}x_{2} =\frac{1}{2}(i_{11}j_{22} -2i_{12}j_{12} +i_{22}j_{22}) \] ein, ebenso \[ \begin{aligned} & 2M =i_{11}\alpha_{2}^{2} -2i_{12}\alpha_{1}\alpha_{2} +i_{22}\alpha_{1}^{2},\\ & 2N =\tau_{11}\alpha_{2}^{2} -2\tau_{12}\alpha_{1}\alpha_{2} +\tau_{22}\alpha_{1}^{2},\\ & 2R =\vartheta_{11}\alpha_{1}^{2} -2\vartheta_{12}\alpha_{1}\alpha_{2} +\vartheta_{22}\alpha_{2}^{2},\end{aligned} \] dann erhält man die Relationen \[ R^{2} =-(AN^{2} -2BMN +CM^{2}),\;\;N =\frac{1}{4}(AC -B^{2}),\;\;M =AB -3C, \] und wenn \(\gamma =\frac{1}{2}(\vartheta_{1}\alpha_{2} -\alpha_{1}\vartheta_{2})\) ist: \[ R =\gamma_{1}\alpha_{2} -\alpha_{1}\gamma_{2},\;S =AN -BM,\;T =CM -BN,\;MT +NS =-R^{2}. \] \(\alpha\) und \(\gamma\) können auch als die rationalen Factoren von \(M\tau -Ni\) definirt werden. Für \(u\) erhält man schliesslich die typische Form \[ R^{4}.u =\left(B -\frac{A^{2}}{3}\right) \gamma^{5} -5\left(N -\frac{AM}{3}\right)\gamma^{4}\alpha \] \[ -10\frac{M^{2}}{3}\gamma^{3}\alpha^{2} -10\left(N^{2} -\frac{BM^{2}}{3}\right)\gamma^{2}\alpha^{3} \] \[ +5\left(NT -\frac{MN -BS}{3}M\right)\gamma\alpha^{4} -\left(N^{3} +T^{2} +\frac{NMS -BM^{2}N -BS^{2}}{3}\right)\alpha^{5}. \] Es werden hierauf die Specialfälle \(R=0;\;R=0,\;M=0;\;\alpha =0\) behandelt. Für die Form sechsten Grades wird eine ähnliche Transformation vorgenommen; die betroffenden Formeln aber hier aufzustellen, würde zu weit führen.

Reviewer: Netto, Dr. (Berlin)

MSC:

11E76	Forms of degree higher than two
15A72	Vector and tensor algebra, theory of invariants

Keywords:

binary forms of degree five or six; invariants and covariants of binary forms