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Das Formenproblem der \(l\)-dimensionalen Hyperflächen in \(n\)-dimensionalen Räumen konstanter Krümmung. (German) JFM 52.0747.02
In Räumen konstanter Krümmung gilt bekanntlich der Satz, daß eine Kurve durch ihre Krümmungen bis auf ihre Lage im Raum eindeutig bestimmt ist. Verlegt man eine derartige Kurve \(\mathfrak x(s)\) auf eine \(l\)-dimensionale Mannigfaltigkeit \(F_l\) \[ \mathfrak x =\mathfrak x(y_1(s),, y_2(s), \ldots, y_l(s)) \] eines vorerst euklidisch angenommenen \(n\)-dimensionalen Raumes, so ergibt \(k\)-fache Differentiation nach der Bogenlänge \(s\) (eine solche wird vorausgesetzt) einen von der Parameterwahl \(y_1, \ldots,y_l\) unabhängigen Vektor \[ \mathfrak x^{(k)} = \mathfrak x_{\alpha_1\alpha_2\ldots \alpha_k}\dot y^{\alpha_1}\dot y^{\alpha_2} \ldots \dot y^{\alpha_k}+ \cdots, \] wo in den weiteren Termen der rechten Seite nur Ableitungen von \(\mathfrak x\) bis zur \((k-1)\)-ten Ordnung vorkommen. Dann kann die Projektion von \(\mathfrak x^{(k)}\) in den sogenannten \(I_k\)-Raum \(\underline {\mathfrak x}^{(k)}\) durch die Vektoren \(\mathfrak l_1, \mathfrak l_2, \ldots \) ausgedrückt werden, welche diesen (gegenüber Parametertransformationen invarianten) Begleitraum der \(F_l\) aufspannen (der \(I_1\)-Raum ist der Tangentialraum der \(F_l\), der \(I_2\) der größte auf \(I_1\) normal stehende Unterraum des Raumes, den die Vektoren \(\mathfrak x_1, \mathfrak x_2, \ldots, \mathfrak x_l, \mathfrak x_{11}, \ldots, \mathfrak x_{ll}\) aufspannen usw.). Die Komponenten dieser Darstellung sind in ihren Koeffizienten symmetrische Formen \[ K^{(\alpha)}=T_{\alpha_1\alpha_2 \ldots \alpha_k}^{(\alpha)} \dot y^{\alpha_1}\dot y^{\alpha_2} \ldots \dot y^{\alpha_k}\quad \alpha= (1,2,\ldots,k) \] und stellen die dem den \(I_k\) aufspannenden \(n\)-Bein “adjungierten Formen”dar. Für die so gewonnenen Formensysteme beweisen die Verf. die Sätze (Formenproblem der \(F_l\)):
(I) Zu einem gegebenen Formensystem, das noch gewissen Bedingungen zu genügen hat, gibt es stets eine \(F_l\), die das gegebene Formensystem besitzt.
(II) Durch eine \(F_l\) ist die Gesamtheit der äquivalenten Formensysteme gegeben; alle \(F_l\) eines und desselben Formensystems sind einander kongruent bzw. kongruent und gespiegelt.
Das Formensystem enthält Pfaffsche \({}_{(\alpha)}\)I, quadratische \({}_{(\beta)}\)II, kubische \({}_{(\gamma)}\)III, usw. Formen, und zwar ist die Anzahl der Pfaffschen durch die Dimensionszahl der \(F_l\), die der quadratischen durch die Dimensionszahl des \(I_2\)-Raumes, die der kubischen durch die Dimensionszahl des \(I_3\)-Raumes usw. gegeben. So ergibt sich die Formulierung: Durch ein gegebenes Formensystem \[ {}_{(\alpha)}\text{I}, \;{}_{(\beta)}\text{II}, \;{}_{(\gamma)}\text{III}, \ldots, \] dessen Koeffizienten
(1) den Krümmungsrelationen,
(2) den Codazzischen Relationen,
(3) den Determinantenrelationen
genügen, ist eine \(F_l\), die das gegebene Formensystem besitzt, bis auf ihre Lage im Raum völlig gegeben. Das Formenproblem gilt für Räume konstanter Krümmung, wie die Verf. im zweiten Teil ihrer Untersuchung zeigen. Die Beweise selbst werden im wesentlichen induktiv geführt (Schluß von den Formen des \(I_k\)-Raumes auf die des \(I_{k+1}\)-Raumes) mit Hilfe der Integrationstheorie von Systemen totaler Differentialgleichungen. Es sei noch bemerkt, daß die Formenquadrate \[ \sum_{(\alpha)}{}_{(\alpha)}\text{I}^2, \;\sum_{(\beta)}{}_{(\beta)}\text{II}^2, \;\sum_{(\gamma)}{}_{(\gamma)}\text{III}^2, \ldots \] Formen darstellen, die von der Wahl des die \(I_k\)-Räume aufspannenden \(n\)-Beins unabhängig sind. Auch diese Ausdrücke bestimmen die \(F_l\) (bis auf Kongruenz), wie die Verf. in einer weiteren Arbeit darzulegen beabsichtigen.

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References:
[1] Vn:n-dimens-metrischer Raum mit positiv definitem Maßtensorgik.
[2] Darunter verstehen wirn zu je zweien senkrechte Einheitsvektoren.
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