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Sur un théorème concernant une transformation d’intégrales quadruples en intégrales curvilignes dans l’espace de Riemann. (French) JFM 65.1415.01
Bull. Internat. Acad. Polonaise Sci. Lett. Cl. Sci. math. natur., A 1939, 22-28 (1939).
In der \(V_4\) der allgemeinen Relativitätstheorie sei ein Gebiet \(D\) mit dreidimensionaler Begrenzung gegeben. Es sei \(L\) eine Kurve, die durch \(D\) hindurchgeht und seine Begrenzung gerade in zwei Punkten schneidet. Ferner sei \(\mathfrak T^{\alpha\beta}\) eine beliebige über \(D\) definierte kontravariante Affinordichte vom Gewicht \(+ 1\) und \(p_{\alpha\beta}\) ein über \(D\) definierter kovarianter Affinor. Sodann wird der merkwürdige Satz bewiesen, daß sich das vierdimensionale Volumintegral von \(\mathfrak T^{\alpha\beta} p_{\alpha\beta}\) über \(D\) stets schreiben läßt als ein Linienintegral von der Form \[ \int(m^{\alpha\beta}p_{\alpha\beta} +m^{\lambda\alpha\beta}\nabla_\lambda p_{\alpha\beta} +m^{\lambda\mu\alpha\beta} \nabla_\lambda \nabla_\mu p_{\alpha\beta}+\cdots)\,ds \] über den innerhalb \(D\) gelegenen Teil der Kurve \(L\). Mechanisch bedeutet dies, daß sich aus den partiellen Differentialgleichungen des Feldes ein System von gewöhnlichen Differentialgleichungen ableiten läßt, die die Bewegung eines mechanischen Systems darstellen. Hier wird verwiesen auf frühere Arbeiten von M. Mattisson (Z. Physik 67 (1931), 270-277; Acta physica Polon. 6 (1937), 163-200; F. d. M. \(57_{\text{I}}\), 1204; \(63_{\text{II}}\), 1262).
MSC:
34-XX Ordinary differential equations