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On regularly convex sets in the space conjugate to a Banach space. (English) JFM 66.0533.02

\(E\) sei ein Banachraum, \(E^*\) sein konjugierter Raum. Eine Menge \(K \subset E^*\) heißt regulär konvex, wenn es zu jedem nicht in \(K\) liegenden \(g \in E^*\) ein \(x_0 \in E\) gibt, so daß \(\sup\limits_{f \in K} f (x_0) < g(x_0)\) ist (für lineare Teilräume ist der Begriff als “regulär abgeschlossen” bereits bekannt). \(S\) sei eine beschränkte Menge in \(E^*\). Die regulär konvexe Hülle \(K\) von \(S\) besteht aus allen den \(g (x)\) aus \(E^*\), die als \(\mathfrak p(\varphi_x)\) geschrieben werden können, \(\mathfrak p\) ein nichtnegatives lineares Funktional auf dem Raum aller beschränkten reellwertigen Funktionen \(\varphi (S)\) auf \(S\), \(\varphi_x\) die durch \(\varphi_x (f) = f (x)\) (\(f \in S\)) erklärte Funktion. Mit Hilfe dieses Satzes wird bewiesen, daß die regulär konvexe Hülle der Vereinigungsmenge endlichvieler beschränkter \(S_i\) die Vereinigungsmenge der einzelnen Hüllen \(K_i\) ist, daß für beliebige Zahlen \(a_1, \dots, a_n\) stets \(a_1 K_1 + \cdots + a_nK_n\) wieder regulär konvex ist. Zwei beschränkte regulär konvexe disjunkte Mengen haben stets positiven Abstand. Eine nicht beschränkte Menge \(K\) aus \(E^*\) ist dann und nur dann regulär konvex, wenn der Durchschnitt von \(K\) mit jeder beschränkten regulär konvexen Menge regulär konvex ist. Zieht man den Banachschen Begriff der transfiniten Abgeschlossenheit heran, so ergibt sich, daß eine Menge \(K \subset E^*\) dann und nur dann regulär konvex ist, wenn sie transfinit abgeschlossen ist. Ist E separabel, so ist eine Menge \(K\subset E^*\) dann und nur dann regulär konvex, wenn sie konvex und schwach abgeschlossen ist. Ist \(E\) beliebig und \(K\subset E^*\) separabel, so ist \(K\) dann und nur dann regulär konvex, wenn sie konvex und lokal schwach kompakt ist. – Anwendungen auf Faktorräume: Ist \(F\) ein regulär abgeschlossener Teilraum von \(E^*\), \(G\) der Teilraum aller \(x \in E\) mit \(f (x) = 0\), \(f \in F\), so ist \(F = (E/G)^*\) und \(G^* = E^*/F\). Ferner gilt, daß \(E\) dann und nur dann regulär (d. h. \(E^{**} = E\)) ist, wenn ein regulärer linearer abgeschlossener Teilraum \(G\) von \(E\) existiert, so daß auch \(E/G\) regulär ist. Ebenso ist die Einheitskugel von \(E\) dann und nur dann schwach kompakt, wenn es die von \(G\) und \(E/G\) sind. Weitere Sätze über die linearen Hüllen \(F\) von regulär konvexen Mengen \(K\). Ist \(K\) beschränkt und \(F\) abgeschlossen, so ist \(F\) regulär abgeschlossen. Ferner werden die regulär konvexen Hüllen von schwach kompakten Mengen in \(E^*\) untersucht. So gilt z. B.: Ist \(E\) separabel und \(S\subset E^*\) beschränkt, so ist die schwach abgeschlossene Hülle der konvexen Hülle von \(S\) gleich der regulär konvexen Hülle von \(S\). Ähnliche Sätze für schwach kompakte Mengen \(G \subset E\). Schließlich wird eine etwas allgemeinere Formulierung der Schauderschen Fixpunktsätze angegeben.

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