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The difference between consecutive prime numbers. II. (English) JFM 66.0163.01

Im ersten Teil seiner Arbeit (J. London math. Soc. 13 (1938), 242-247; JFM 64.0982.*) schätzte Verf. die Differenz aufeinanderfolgender Primzahlen durch eine Funktion der kleineren Primzahl nach unten ab. Im vorliegenden zweiten Teil seiner Arbeit schätzt Verf. die Differenz von Primzahlen nach oben ab, indem bewiesen wird, daß in der aus dem Primzahlsatz unmittelbar folgenden Beziehung \(p-p'<(1+\varepsilon)\log p\) für unendlich viele Primzahlpaare \(p\), \(p'\) der Faktor \(1 + \varepsilon\) durch \(\dfrac{1+4\theta}5+\varepsilon\) ersetzt werden darf, wobei noch zusätzlich verlangt werden kann, daß \(N<p'<p<2N\) gilt, wenn \(N\geqq N_0(\varepsilon)\) gewählt wird; hierin bedeutet \(\theta\) die untere Grenze aller positiven Zahlen \(\sigma_0\), für die keine der Dirichletschen \(L(\chi,s)\)-Reihen eine Nullstelle \(s=\sigma+it\) mit \(\sigma > \sigma_0\) besitzt. Es wird weder die Riemannsche Vermutung \(\theta=\frac 12\) noch die Voraussetzung \(\theta<\frac 34\) benötigt. Zum Beweise werden teils bekannte, teils vom Verf. neu hergeleitete Hilfssätze über die zahlentheoretischen Charaktere herangezogen, mit deren Hilfe das Integral \[ \begin{gathered} I(N,k)=\int\limits_0^1|S(\alpha)\varPsi(\alpha)|^2\,d\alpha, \quad S(\alpha)=\sum_{N<p<2N}e^{2\pi i\alpha p}\log p, \quad \varPsi(\alpha) = \sum_{\nu=1}^k e^{2\pi i \nu \alpha}, \\ k = k(N), \end{gathered} \] abgeschätzt wird, wobei das Integrationsintervall durch Fareybrüche aufgeteilt wird.

Citations:

JFM 64.0982.*
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