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Abelian groups that are direct summands of every containing Abelian group. (English) JFM 66.0074.02

Bekanntlich ist jede additive abelsche Gruppe \(\mathfrak G\), die \(\mathfrak G=n\mathfrak G\) für alle ganzrationalen positiven \(n\) erfüllt, direkter Summand jeder \(\mathfrak G\) enthaltenden abelschen Gruppe \(\mathfrak H\). Verf. verallgemeinert diesen Satz auf abelsche Gruppen mit einem Ring von Operatoren. Sein Hauptresultat lautet: “Folgende beiden Eigenschaften einer abelschen Gruppe \(\mathfrak G\) mit einem Ring von Operatoren \(\mathfrak R\) sind jede die Folge der anderen: a) Wenn \(\mathfrak G\) Untergruppe der abelschen Gruppe \(\mathfrak H\) über \(\mathfrak R\) ist, so ist \(\mathfrak G\) direkter Summand von \(\mathfrak H\). b) Zu jedem Ideal \(\mathfrak M\) in \(\mathfrak R\) und jeder homomorphen Abbildung \(\varPhi \) von \(\mathfrak M\) auf \(\mathfrak G\) gibt es ein Element \(v\in \mathfrak G\) so, daß \(m^\varPhi =mv\) für alle \(m\in \mathfrak M\) gilt.”
Dieser Satz kann als eine Verallgemeinerung des Satzes, daß jede Darstellung einer halbeinfachen Algebra vollständig reduzibel ist, angesehen werden.
Schließlich zeigt Verf. noch, daß jede abelsche Gruppe mit einem Ring von Operatoren eingebettet werden kann in eine abelsche Gruppe mit den oben genannten Eigenschaften, und daß es gewissermaßen eine minimale derartige Einbettungsgruppe \(\mathfrak H\) für jede abelsche Gruppe \(\mathfrak G\) gibt, nämlich eine solche, zu der in jeder anderen, den obigen Bedingungen entsprechenden Einbettungsgruppe \(\mathfrak H_1\) eine isomorphe Untergruppe existieren muß.
Reviewer: Grün, O. (Berlin)

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