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Elements of the topology of plane sets of points. (English) JFM 65.0873.04

VIII + 221 p. Cambridge, University Press (1939).
Eines der Probleme, von denen die Topologie ausgegangen ist, den Fragenkreis des Jordanschen Satzes in der Ebene, hat Verf. zum Thema einer Einführung in die Methoden der Topologie gewählt. Diese Wahl mag durch zwei Gesichtspunkte bestimmt sein: Erstens kommen dabei, wenn man den Beweis nach Alexander führt, kombinatorische und mengentheoretische Methoden in der für die neuere Topologie charakteristischen Verbindung zur Geltung. Und zweitens ist es verhältnismäßig leicht, durch Beschränkung auf die Topologie mod 2 auf der kombinatorischen, durch Übergehen einiger spezieller Untersuchungen (z. B. der Primendentheorie) auf der mengentheoretischen Seite den Stoff so abzugrenzen, daß er keine über das Verstandnis des Anfängers hinausgehenden Schwierigkeiten bietet und nur einfachste Hilfsmittel aus anderen Gebieten der Mathematik erfordert, ohne daß dabei die Geschlossenheit des Ganzen verloren ginge.
Inhaltsübersicht: Der erste Teil bringt nach einem einleitenden Kapitel über die einfachsten Tatsachen der abstrakten Mengenlehre in drei Kapiteln “Closed sets and open sets in metric spaces”, “Homoeomorphism and continuous mappings”, “Connection” eine Einführung in die Topologie der metrischen Räume. Dabei wird im letzten Kapitel die Behandlung des Zusammenhangs im kleinen bis zur topologischen Charakterisierung des einfachen Kurvenbogens und der einfach geschlossenen Kurve durchgeführt. Der zweite Teil beginnt im Kapitel “Separation theorems” mit der Homologietheorie mod 2 in der Ebene, dem Beweis des Alexanderschen Lemmas und des Jordanschen Satzes; es folgen die Sätze von der Dimensionsund Gebietsinvarianz und einige einfache Zerlegungssätze; der Schlußparagraph enthält die einfachsten Sätze für den mehrdimensionalen Fall, ohne die die Bedeutung der Homologietheorie für den Fragenkreis wohl kaum verständlich wäre. Im folgenden Kapitel “Simply connected domains” wird die Homöomorphie aller einfach zusammenhängenden ebenen Gebiete bewiesen; außerdem wird der Homotopiebegriff eingeführt; Anwendungen auf die Funktionentheorie. Das Kapitel “Accessibility and Jordan domains” handelt von Eigenschaften der Gebietsgrenzen (Erreichbarkeit, Unbewalltheit); topologische Abbildung des von einer Jordankurve begrenzten abgeschlossenen Bereichs auf ein Quadrat; Umkehrung des Jordanschen Satzes; Randelemente eines Gebietes. Im letzten Kapitel “Connectivity properties” werden die Bettischen Zahlen \(p_0, p_1\) mod 2 eingeführt; topologische Invarianz von \(p_1\), Homöomorphie ebener Gebiete mit gleichem \(p_1\); zweidimensionaler Fall des Alexanderschen Dualitätssatzes, (krumme) Streckenkomplexe und ihre Zerlegungseigenschaften in der Ebene.
Selbstverständlich kann das auf einen speziellen Problemkreis gerichtete Buch eine Einführung in die Topologie im üblichen Sinne nicht ersetzen, wenn auch Verf. durch Literaturangaben, Bemerkungen im Text und zum Teil ziemlich ausführliche Noten am Schluß des Buches den Leser auf andere, hier nicht behandelte Fragestellungen hinweist. Als leicht zugängliche, moderne Darstellung des Jordanschen Satzes dürfte es aber nicht nur für Studenten von Interesse sein.