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Über ein ökonomisches Gleichungssystem und eine Verallgemeinerung des Brouwerschen Fixpunktsatzes. (German) JFM 63.1167.03

Ergebn. math. Kolloqu. Wien 8, 73-83 (1937).
Ein Wirtschaftssystem wird folgendermaßen idealisiert: Es besteht aus den Prozessen \(P_i\), \(i=1,\ldots, m\), bei welchen die Güter \(G_j\), \(j=1,\ldots, n\) umgesetzt werden. \(P_i\) verbraucht in der Zeiteinheit \(a_{ij}\) Einheiten von \(G_j\) und erzeugt \(b_{ij}\) davon. Die Intensität von \(P_i\) sei \(x_i\). Gesucht ist eine Wirtschaftsform fester Struktur, d. h. mit fest bleibendem Verhältnis \(x_1:\cdots :x_m\); der Faktor \(\alpha \), mit dem sich bei solchen Systemen die \(x_i\) multiplizieren, heißt der Expansionsfaktor der Wirtschaft. Zur Formulierung der ökonomischen Gleichungen werden noch die Preise \(y_j\) der Güter eingeführt und der Verzinsungsfaktor \(\beta \). Bei gegebenen \(a_{ij}\), \(b_{ij}\) sind die Verhältnisse der \(x\) und der \(y\), außerdem \(\alpha \) und \(\beta \) gesucht, eine Wirtschaft fester Struktur vorausgesetzt. Es handelt sich dann um die simultane Lösung der folgenden Gleichungen und Ungleichungen \[ x_i\geqq 0,\;\;\;\sum x_i>0,\;\;\;y_j\geqq 0,\;\;\;\sum y_j>0; \]
\[ \alpha \,\sum _i a_{ij} x_i\leqq \sum _i b_{ij} x_i; \] falls hier \(<\) steht, so ist \(y_j=0\) (von \(G_j\) kann nicht mehr verbraucht werden, als erzeugt wird; bei Überproduktion von \(G_j\) wird der Preis von \(G_j\) Null); \[ \beta \,\sum _j a_{ij} y_j\geqq \sum _j b_{ij} y_j; \] falls hier \(>\) steht, ist \(x_i = 0\) (im Gleichgewichtszustand kann bei keinem Prozeß ein Profit erzielt werden; bei Unrentabilität von \(P_i\) sinkt die Intensität von \(P_j\) auf Null).
Die Existenz von Lösungen dieser Gleichungen ist in einem allgemeinen mengentheoretischen Satz enthalten: Unter einer \(C\)-Menge werde eine nicht leere, beschränkte konvexe abgeschlossene Punktmenge verstanden. \(S\) sei eine \(C\)-Menge in \(R_m\) (\(=m\)-dimensionaler Zahlenraum), \(T\) eine solche im \(R_n\). \(V\) bzw. \(W\) seien zwei abgeschlossene Teilmengen von \(S\times T\subset R_{m+n}\) derart, daß jeder \(s\)-Schnitt von \(V\) (d. h. bei festem \(s\in S\) die Menge aller \(t\in T\) mit \(s\times t\in V\)) bzw. jeder \(t\)-Schnitt von \(W\) eine \(C\)-Menge ist. Unter diesen Voraussetzungen haben \(V\) und \(W\) einen Punkt gemeinsam. Dieser Satz wird mittels des L. E. J. Brouwerschen Fixpunktsatzes bewiesen. Es werden noch einige Eigenschaften der Lösungen des obigen Gleichungssystems diskutiert.