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Über einige Verallgemeinerungen eines Satzes von Hardy und Ramanujan. (German) JFM 62.0158.02

Verf. gab kürzlich (J. London. math. Soc. 9 (1934), 274-276; F. d. M. \(60_{\text{I}}\), 145-146) eine einfache Methode zum Beweis des folgenden Hardy-Ramanujanschen Satzes an: \(\nu(n)\) bedeute die Anzahl der Primteiler von \(n\). Dann ist die Anzahl derjenigen Zahlen \(n\leqq N\), für welche eine der Ungleichungen \begin{align*} \nu(n)&\geqq\log\log N + \varPhi(N)\sqrt{\log\log N},\\ \nu(n)&\leqq\log\log N - \varPhi(N)\sqrt{\log\log N} \end{align*} gilt, \(o(N)\), wenn nur \(\lim\limits_{N\to\infty}\varPhi(N) = + \infty\). (Dabei ist es gleichgültig, ob mehrfache Primfaktoren mehrfach oder nur einmal gezählt werden.) Verf. zeigt jetzt, daß die verwendete Methode wesentlich allgemeinere Resultate liefert. Er beweist nämlich:
1) Es sei \(\psi(n)\) eine zahlentheoretische Funktion mit den folgenden Eigenschaften:
a)
\(\psi(\mu)\geqq0\);
b)
\(\psi(p)\leqq K\) für alle Primzahlen \(p\);
c)
\(A(N) =\sum_{p\leqq N}\frac{\psi(p)}p\to\infty\) bei \(N\to\infty\);
d)
\(\psi(n)=\sum_{p \mid n}\psi(p)\),
wobei die Summe über alle verschiedenen Primteiler von \(n\) zu erstrecken ist. Dann ist die Anzahl der Zahlen, für welche eine der Ungleichungen \begin{align*} \psi(n)&\geqq A(N) + \varPhi(N)\sqrt{A(N)},\\ \psi(n)&\leqq A(N) - \varPhi(N)\sqrt{A(N)} \end{align*} erfüllt ist, \(o(N)\), wenn nur \(\lim\limits_{N\to\infty}\varPhi(N) = + \infty\). Für \(\psi(p)=1\) ergibt sich der Hardy-Ramanujansche S atz. Ein entsprechender Satz gilt, wenn in d) über alle Primteiler von \(n\) summiert wird. – Falls \(\sum\dfrac{\psi(p)}p\) konvergiert und \(\psi(p_i)\) und \(\psi(p_k)\) für verschiedene Primzahlen \(p_i\), \(p_k\) stets verschieden ausfallen, ist das Verhalten – wie Erdös bewiesen hat (J. London math. Soc. 10 (1935), 120-125; F. d. M. \(61_{\text{I}}\), 131-132) – ein anderes: Die Anzahl der Zahlen \(n\leqq N\), für welche \(\psi(n)\geqq B\) ist, ist asymptotisch \(C (B) N\), wo \(C (B)\) eine monotone und stetige Funktion ist.
2) Ist \(g (p)\) eine multiplikative zahlentheoretische Funktion mit folgenden Eigenschaften:
a)
\(1\leqq g(p)\leqq K\),
b)
\(g (p)\leqq g(p^\alpha)\leqq g(p)^\alpha\) für alle \(p\) und \(\alpha\geqq1\),
c)
\(g (mn) = g(m)g (n)\) für \((m, n) = 1\),
d)
\(B(N) =\sum_{p\leqq N}\frac{\log g(p)}p\to\infty\) wenn \(N\to\infty\),
dann erfüllen für \(\varepsilon > 0\) fast alle Zahlen \(n\leqq N\) die Ungleichung \[ e^{B(N)-B(N)^{\frac12+\varepsilon}}\leqq g(n)\leqq e^{B(N)+B(N)^{\frac12+\varepsilon}} \] bei \(N\to\infty\). Anwendung: Ist \(T (n)\) die Anzahl der Teiler von \(n\), so ist \[ 2^{\log\log N-(\log\log N)^{\frac12+\varepsilon}}\leqq T(n)\leqq 2^{\log\log N+(\log\log N)^{\frac12+\varepsilon}} \] für fast alle \(n\leqq N\) (Hardy-Ramanujan).
3) Es sei \(F (x)\) ein Polynom von beliebigem Grade mit ganzzahligen Koeffizienten, welches in \(r\) irreduzible Faktoren zerfällt. Dann ist die Anzahl derjenigen ganzen Zahlen \(n\leqq N\), für welche eine der Ungleichungen \[ \begin{gathered} \nu \{| F (n)| \}\leqq r \log\log N- (\log\log N)^{\frac12+\varepsilon},\\ \nu \{| F (n)| \}\geqq r \log\log N+ (\log\log N)^{\frac12+\varepsilon} \end{gathered} \] gilt, \(o(N)\). Hierbei sind in \(r\) mehrfache Primteiler des Polynoms einfach oder mehrfach zu zählen, je nachdem man in \(\nu(m)\) mehrfache Primteiler von \(m\) einfach oder mehrfach zählt. Anwendung: Ist \(P_x\) der größte Primteiler von \(x^2+1\), so ist für fast alle \(x\leqq N\) \[ P_x>x^{\frac2{(1+\varepsilon)\log\log N}} \] (vgl. hierzu das Resultat von Mahler in Arch. Mat. Nat., Oslo, 41 (1933), Nr. 1; F. d. M. \(60_{\text{II}}\), 939).

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