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Homotopieringe und Linsenräume. (German) JFM 61.1352.01

Nach Threlfall und Seifert (Topologische Untersuchung der Diskontinuitätsbereiche endlicher Bewegungsgruppen des dreidimensionalen sphärischen Raumes II Math. Ann. 107 (1932), 543-586 (F. d. M. 58\(_{\text{II}}\)), insbes. S. 547) ist für die Homöomorphie zweier Linsenräume \((h, k)\) und \((h, k')\) hinreichend: \(kk' \equiv \pm 1\) (mod \(h\)). Verf. zeigt auf Grund seiner Untersuchungen über Homotopieringe (Abhandl. Hamburg 10 (1934), 211-215; F. d. M. 60\(_{\text{I}}\), 499), daß diese Bedingung auch notwendig ist; da die Fundamentalgruppe des Linsenraumes allein durch \(h\) bestimmt ist -sie ist zyklisch von der Ordnung \(h\) –, zeigt dieses Ergebnis, daß der Homotopiering einer Mannigfaltigkeit nicht durch die Fundamentalgruppe allein bestimmt ist.
Ist \(U\) die universelle Überlagerungsmannigfaltigkeit von \(M\), \(\mathfrak G\) die der Fundamentalgruppe von \(M\) isomorphe Automorphismengruppe von \(U\), bedeuten schließlich \(z^\iota_\varkappa\) die \(\iota\)-dimensionalen Zellen eines Fundamentalbereichs von \(U\), so ist der Homotopiering bekanntlich bestimmt durch die Gruppe der Homotopieketten \[ c^\iota = \sum_\varkappa r_\varkappa ^\iota z_\varkappa ^\iota \;\;\text{mit} \;\;r_\varkappa ^\iota =\sum_\nu n_\nu \gamma _\nu, \;\quad n_\nu \;\;\text{ganz rational}, \;\;\gamma_\nu\in \mathfrak G \] und Angabe der Berandungsrelationen \[ R(z_\varkappa ^\iota)=\sum r_\varkappa ^{\iota, \lambda} z_\lambda^{\iota-1}. \]
Es werden nun kombinatorische Normalformen dreidimensionaler Mannigfaltigkeiten untersucht, die neben Flächen und Strecken genau einen Punkt und genau eine dreidimensionale Zelle enthalten. Die Änderung, die der Übergang von einer solchen Normalform zu einer äquivalenten im Homotopiekettenring bewirkt, läßt sich leicht übersehen: Sie besteht im wesentlichen im wiederholten Hinzufügen je einer \(z^2\) und einer \(z^1\) mit den Relationen \(R(z^2) =z^1, R(z^1)=0\); außerdem in Basistransformation der Strecken- und Flächenketten.
Für Linsenräume kann man den Homotopiering mit den Berandungsrelationen \[ R(z^3)= (\gamma^l-1)z^2, \quad R(z^2) = \sigma z^1, \quad R(z^1)= (\gamma ^m-1)z^0 \] ansetzen, wobei \(z^\iota\) die einzige \(\iota\)-dimensionale Zelle des Fundamentalbereichs, \(\gamma\) eine Erzeugende der zyklischen Gruppe \(\mathfrak G\) von der Ordnung \(h, \sigma = \sum \limits _{i=0}^{h-1}\gamma ^i\) ist und \(l\) und \(m\) zu \(h\) teilerfremd sind. (Diesem Raum entspricht das Symbol \((h, \pm l^{-1}m), l^{-1}m\), mod \(h\) genommen.) Die Frage, welche Änderungen von \(l\) und \(m\) sich durch die oben beschriebenen Abänderungen erreichen lassen, führt auf gewisse Gleichungen im Gruppenring von \(\mathfrak G\) deren Lösungen man beherrscht. Für die Werte \(\overline{l}, \overline{m}\) des transformierten Homotopieringes ergeben sich die Möglichkeiten: (1) \(\overline{l} = m, \overline{m} = l\); (2) \(\overline{l} = - l, \overline{m} = m\), und bei Ersetzen von \(\gamma\) durch \(\gamma ^i (3) \overline{l} =li, \overline{m} = mi.\)

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