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Sur les fonctions presque périodiques de von Neumann. (French) JFM 61.0472.01

Im Anschluß an Stepanoff und Tychonoff (C. R. 196 (1933), 1199-1201; F. d. M. 59\(_{\text{I}}\), 291) definiert Verf. als Abstand zweier Elemente einer Gruppe \(\mathfrak{G}\) mit Hilfe einer oder mehrerer in \(\mathfrak{G}\) fastperiodischen Funktion \(f(x)\) (siehe von Neumann, Trans. Amer. Math. Soc. 36 (1934), 445-492; F. d. M. 60\(_{\text{I}}\), 357) die obere Grenze \(\delta(s, t)\) der Werte \(| \, f(xsy) - f(xty) \, |\), wobei \(x\) und \(y\) über \(\mathfrak{G}\) variieren. Mit Hilfe dieses Entfernungsbegriffes kann man zeigen, daß ein homomorphes Bild von \(\mathfrak{G}\) in einer metrischen kompakten Gruppe \(\overline{\mathfrak{G}}\) überall dicht liegt. Ist \(\mathfrak{G}\) eine topologische Gruppe und beschränkt man sich auf stetige fastperiodische Funktionen in \(\mathfrak{G}\), so wird \(\mathfrak{G}\) sogar stetig in \(\overline{\mathfrak{G}}\) dargestellt.
Ist umgekehrt in einer kompakten Gruppe \(\overline{\mathfrak{G}}\) ein homomorphes Bild von \(\mathfrak{S}\) enthalten, so ist jede stetige Funktion in \(\overline{\mathfrak{G}}\) eine fastperiodische Funktion in \(\mathfrak{G}\).
Verf. bezeichnet als quasigeschlossen eine Gruppe, die infinitesimal das direkte Produkt einer geschlossenen und einer abelschen Gruppe ist.
Ist nun \(\mathfrak{G}\) eine offene Liesche Gruppe, so wird es eine kleinste invariante Untergruppe \(\mathfrak{G}_0\) derart geben, daß \(\mathfrak{G}/\mathfrak{G}_0\) quasigeschlossen ist. Eine in \(\mathfrak{G}\) fastperiodische stetige Funktion \(f\) wird dann stetig in \(\mathfrak{G}_1 \times \mathfrak{G}_2\), und fastperiodisch über \(\mathfrak{G}_1\) im Sinne von Bohr sein, wenn \(\mathfrak{G}/\mathfrak{G}_0 = \mathfrak{G}_1 \times \mathfrak{G}_2\)(oder gleich dem Quotient dieses Produktes durch eine endliche Gruppe), wobei \(\mathfrak{G}_1\) die offene abelsche Gruppe und \(\mathfrak{G}_2\) eine geschlossene Gruppe ist.

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