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Sur une formule de Darboux et les polynomes d’interpolation. (French) JFM 58.0299.02

Im Anschluß an Darboux’ Übertragung des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung ins Komplexe gibt Verf. die Formel für \((n+1)\)-reihige Determinanten \[ | 1 z_{\nu } \dots z_{\nu }^{n-1} f(z_{\nu }) | = \lambda \frac {f^{(n)} (\alpha )}{n!} | 1 z_{\nu } \dots z_{\nu }^{n-1} z_{\nu }^n | \,. \] wo \(\alpha \) einen Punkt des Konvexitätsbereiches der \(z_1, \dots, z_{n+1}\) bedeutet und \(\lambda \) eine komplexe Konstante vom Betrage kleinergleich 1. Für \(n=1\) entsteht der Darbouxsche Mittelwertsatz; allgemein ist der Determinantenquotient nichts anderes als die \(n\)-te Steigung. Ähnliche Formeln gelten, wenn gewisse der Stellen \(z_{\nu }\) zusammenfallen (mehrfach berücksichtigt werden); dann kommen die Ableitungen \(f' (z_{\nu }), \dots \) herein. Das Ergebnis führt zu einer Fehlerabschätzung des Interpolationspolynoms für eine analytische Funktion, ähnlich wie im Reellen. Schließlich wird eine analoge Untersuchung angestellt für den Fall, daß die Potenzen \(z^0, z^1, \dots \) durch beliebige analytische Funktionene \(p_0 (z), p_1 (z), \dots \) ersetzt werden. - Auch der Farge, ob \(\lambda = 1\) gesetzt werden könne, wird Beachtung geschenkt; man kann dann zwar nicht zu jedem Paar \(z_1, z_2\) ein geegignetes \(\alpha \) finden, wohl aber umgekehrt für jedes \(\alpha \) gewisse \(z_1, z_2\), so daß die Gleichung mit \(\lambda = 1\) besteht (diese können sogar auf jeder gegebenen Kurve um \(\alpha \) gewählt werden). Für beliebiges \(n\) gilt ähnliches (ohne Nachsatz).

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Full Text: EuDML