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Einige Sätze über quadratfreie Zahlen. (German) JFM 57.0222.02

Verf. beweist: (1) Jede hinreichend große ganze Zahl läßt sich als Summe eines Quadrats und einer quadratfreien Zahl darstellen. (2) Zu jeder positiven oder negativen ganzen Zahl \(l\) gibt es unendlich viele quadratfreie Zahlen von der Form \(z^2+l\), wo \(z\) eine natürliche Zahl ist.
Ferner beweist er Abschätzungen für die zugehörigen Darstellungsanzahlen (mit positiven darstellenden Zahlen), und zwar im ersten Falle bis auf ein \(O(n^{\frac13+\varepsilon})\) und im zweiten Falle bis auf ein \(O(n^{\frac13}\log n)\).
Der Beweis benutzt eine mit der Teileranzahl \(d(n)\) von \(n\) zusammenhängende Formel, die sich einfach durch Betrachtungen über die Anzahl der Ideale eines imaginärquadratischen Körpers mit der Norm \(n\) und komplizierter auf elementarem Wege ergibt, wobei ein Rademacherscher Hilfssatz Verwendung findet, den Verf. auf neuem elementarem Wege beweist.

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References:

[1] Journal London Math. Soc.6 (1931), 37-40.
[2] Unter einem Quadrat sei hier das Quadrat einerpositiven ganzen Zahl verstanden, unter einer quadratfreien Zahl einepositive ganze Zahl, die durch kein Quadrat außer 1 teilbar ist. Im folgenden sollen auch alle Buchstaben, die als Summationsvariable auftreten, stets positive ganze Zahlen bedeuten.
[3] Im Anhang werde ich zeigen, daß man den Beweis auch ganz elementar (ohne Heranziehung der Theorie der algebraischen Zahlen) führen kann.
[4] Zusatz bei der Korrektur. Einer inzwischen erschienenen Arbeit der Herren Linfoot und Evelyn (Journal für Math.164, S. 131-140) entnehme ich, daß Herr Rademacher diesen Hilfssatz schon früher aufgestellt hatte. Mein elementarer Beweis scheint indessen neu zu sein.
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