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A linear differential equation with periodic coefficients. (English) JFM 50.0298.01

Behandelt wird die Gleichung zweiter Ordnung mit 3 Parametern \((xi,y,p)\): \[ (\text{A})\quad \frac{d^2y}{dx^2}+\xi \sin 2x \frac{dy}{dx}+(\eta-p \xi \cos 2x)y=0, \] die durch die Substitution \[ z=a \cos^2x,\quad u=ye^{-\frac 14 \xi \cos lx} \] algebraisch wird. Für ganze positive Werte von \(p\) existieren Lösungen, die trigonometrische Polynome der Ordnung \(p\) sind, wenn \(\xi\) und \(\eta\) durch eine algebraische Relation verbunden sind. Indem \(\xi\) und \(\eta\) als kartesische Koordinaten gedeutet werden, werden die so erhaltenen Kurven eingehend bezüglich ihrer Doppelpunkte und Asymptoten untersucht, die niedersten nicht- trivialen Fälle \((p=4,5,6,7)\) durch Figuren erläutert.
Es wird weiter auf andere periodische Lösungen von (A) eingegangen und die “Stabilität” der allgemeinen Lösung von (A) (immer für ganze positive \(p\)) untersucht. Endlich wird kurz der Grenzfall: \[ \xi \to 0,\;p \xi \to 2 \vartheta \] (Mathieusche Gleichung) besprochen.

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