×

Some notes on the spheroidal wave-functions. (English) JFM 49.0344.01

Wenn man rotationselliptische Koordinaten \(\lambda, \mu, \varphi\) in die Wellengleichung einführt und den Ansatz \(W = E(\lambda)F(\mu)e^{i(m\varphi+ckt)}\) macht, findet man für \(F(\mu)\) die Differentialgleichung \[ \frac{d}{d\mu}\left[(1-\mu^2)\frac{dF}{d\mu}\right]+ \left[p+k^2a^2\mu-\frac{m^2}{1-\mu^2}\right]F=0. \] Gefragt wird nach den Werten von \(p\), für welche diese Gleichung eine Lösung besitzt, die, bis auf einen Faktor \((1-\mu^2)^{\frac m2}\), eine ganze Funktion ist; dabei wird \(m\) positiv ganzzahlig oder Null angenommen. Für genügend kleine Werte von \(|ka|\) findet der Verf. die Lösung durch Entwicklung von \(p\) und \(F(\mu)\) nach Potenzen von \(ka\). Wenn dieser Ansatz versagt, wird \(F(\mu) = \sum a_rP^m_r(\mu)\) gesetzt. Ferner zeigt der Verf., daß die gesuchten Funktionen Eigenlösungen von Integralgleichungen sind; für das abgeplattete Rotationsellipsoid findet er in der Tat \[ F(x)=C\int_{-1}^{+1}e^{kaxt}(1-x^2)^{\frac m2}(1-t^2)^{\frac m2}F(t)dt. \] Diese Gleichung wird benutzt, um eine Darstellung von \(E(\lambda)\) für große positive \(\lambda\) zu erhalten.
PDFBibTeX XMLCite