Poole, G. C. On certain classes of Mathieu functions. (English) JFM 48.0567.02 Lond. M. S. Proc. (2) 20, 374-388 (1922). Die Differentialgleichung \[ \dfrac{\partial ^2V}{\partial x^2}+\dfrac{\partial ^2V}{\partial y^2}+k^2V=0 \] geht durch die Substitution \[ x + iy = a \cosh (\zeta + i\eta) \] über in: \[ \dfrac{\partial ^2V}{\partial \xi^2}+\dfrac{\partial^2V}{\partial \eta^2}+k^2a^2 (\cosh^2\xi-\cos^2\eta)V=0. \] Sucht man ein Partikulärintegral der Form \[ V = F(\xi)G(\eta) \] und setzt noch cosh \(\xi = \lambda\), \(\cos \eta = \mu\), so zerfällt die partielle Differentialgleichung in zwei gewöhnliche: \[ \begin{aligned} & (1-\lambda^2)\dfrac{d^2F}{d\lambda^2}-\lambda\dfrac{dF}{d\lambda}+ (p-k^2a^2\lambda^2)F=0,\\ & (1-\mu^2)\dfrac{d^2G}{d\mu^2}-\mu\dfrac{dG}{d\mu}+ (p-k^2a^2\mu^2)G=0, \end{aligned} \] die also beide die gleiche Form haben; \(p\) ist eine willkürliche Konstante. Von dieser Differentialgleichung werden die Fundamentalsysteme in der Umgebung der singulären Punkte \(\pm 1\) aufgestellt und die Übergangssubstitutionen untersucht, sodann namentlich die Frage nach periodischen Lösungen (periodisch in bezug auf \(\theta = \operatorname{arc} \cos \lambda)\) diskutiert. Dabei ergibt sich eine transzendente Gleichung für \(p\). Reviewer: Perron, O., Prof. (München) JFM Section:Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 13. Potentialtheorieund Theorie der partiellen Differentialgleichungen vom elliptischen Typus. Randwertaufgaben und Entwicklungssätze. PDFBibTeX XMLCite \textit{G. C. Poole}, Proc. Lond. Math. Soc. (2) 20, 374--388 (1922; JFM 48.0567.02) Full Text: DOI Link