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On the convergence of certain trigonometric and polynomial approximations. (English) JFM 48.0290.02

Die Polynome und trigonometrischen Summen der Ordnung \(\leqq n\), die Verf. in den beiden vorstehenden Abhandlungen für jedes \(m \geqq1\) und \(n = 1\), 2, 3, \(\ldots\) einer im Intervall \(a \leqq x \leqq b\) gegebenen Funktion \(f (x)\) als Näherungsfunktionen zugeordnet hat, untersucht er hier in bezug auf ihre Konvergenz gegen \(f (x)\) bei festem \(m\) und \(n\to\infty\). Er findet, wenn \[ \omega(\delta)= \text{Maximum} | f(x')- f(x'')|\quad \text{für}\quad |x'-x''|\leqq\delta \] das Stetigkeitsmaß von \(f (x)\) in \((a, b)\) bedeutet und entsprechend \(\omega_1(\delta)\) dasjenige von \(f'(x)\), sowie \(\omega_2(\delta)\) dasjenige von \(f''(x)\), als hinreichend für die gleichmäßige Konvergenz der Näherungsfunktionen gegen \(f (x)\):
1. Bei trigonometrischen Summen und Konvergenz im ganzen Intervall \((a, b)\) die Bedingung \[ \begin{alignedat}{2} \omega(\delta)&=o\left(\delta^{\frac1m}\right)\quad &&\text{für}\;m>1, \\ \omega_1(\delta)&= o(1)\quad &&\text{für}\;m = 1. \end{alignedat} \]
2. Bei Polynomen und Konvergenz im ganzen Intervall \((a, b)\) die Bedingung \[ \begin{alignedat}{2} \omega(\delta) &= o\left(\delta^{\frac2m}\right)\quad &&\text{für}\;2 < m, \\ \omega_1(\delta) &= o\left(\delta^{\frac2m-1}\right)\quad &&\text{für}\;1<m\leqq2, \\ \omega_2(\delta) &= o(1)\quad &&\text{für}\;1 = m. \end{alignedat} \]
3. Bei Polynomen und Konvergenz in einem inneren Teilintervall \((a',b')\) von \((a, b)\) die (nur für \(m > \sqrt2\) nichttriviale) Bedingung \[ \omega(\delta) = o\left(\delta^{\frac1m\cdot\frac{m+2}{m+1}}\right), \] günstiger als unter 2., aber weniger günstig als unter 1.
Im übrigen ist, wie Verf. feststellt, das Ergebnis unter 1. selbst für große \(m\) wesentlich enger als im Falle \(m = 2\) der Fourierreihe die Lipsehitz-Dini-Bedingung \[ \omega(\delta) \log \frac1\delta = o(1). \] Verf. betrachtet darum seine Ergebnisse nur als vorläufig. (IV 3 D.)

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