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On the connexion between linear differential systems and integral equations. (English) JFM 47.0945.02

Wird in der Differentialgleichung \[ L_x(u)\equiv \frac {d}{dx} \left( k(x) \frac {du}{dx}\right) +l(x) u =-au \] \((k(x)\) und \(l(x)\) im Intervall \(\alpha \leqq x \leqq \beta\) definiert, \(k(\beta) = k(\alpha), l(\beta) = l(\alpha))\) der Koeffizient \(a\) so gewählt, daßdiese Gleichung, abgesehen von einem konstanten Faktor, eine und nur eine Lösung hat, die die periodischen Randbedingungen \(u(\beta) = u(\alpha), u'(\beta) = u'(\alpha)\) erfüllt, ist ferner \(K(x, s)\) eine Lösung der Differentialgleichung \(L_x(K) = L_s(K)\) mit den periodischen Nebenbedingungen \[ \begin{aligned} K(x, \beta)& = K(x, \alpha), \;K_s(x, \beta) =K_s (x, \alpha) \;(\alpha \leqq x \leqq \beta),\\ K(\beta, s)& = K(\alpha, s), \;K_x(\beta, s) =K_x (\alpha, s) \;(\alpha \leqq s \leqq \beta),\end{aligned} \] und ist \(u(s)\) in \((\alpha, \beta)\) nicht orthogonal zu \(K(x, s),\) dann erfüllt \(u(x)\) bei geeignet gewähltem \(\lambda\) die Integralgleichung \[ u(x) =\lambda \int_\alpha^\beta K(x, s) u(s) ds. \]
Der Verf. gibt nicht nur diesen Satz, sondern auch seine Umkehrung und dieser Theorie folgen alle bis jetzt bekannten Lösungen von linearen Differentialgleichungen mit periodischen Koeffizienten mittels Integralgleichungen. Beispiel der Theorie behandelt er die Gleichung \[ u'' +\left(a +k^2 \cos^2 x- \frac{n(n-1)}{\sin^2 x} \right)u =0. \] Er betrachtet auch lineare Differentialgleichungen beliebiger Ordnung, Systeme von zwei linearen Differentialgleichungen (mit Anwendung auf die Besselsche Differentialgleichung), und schließlich noch Lösungen in endlicher Form.

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