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Sur le fonctions entières d’ordre nul et d’ordre fini et en particulier les fonctions à correspondance régulière. (French) JFM 46.1462.03

Der erste Teil der inhaltreichen Arbeit ist den ganzen Funktionen der Ordnung Null gewidmet.
I. Aus einer von Hadamard benutzten Methode holt Verf. heraus, daßzwischen \(M(r)=\underset{| z|=r}{\text{Max}}| f(z)| \) und \(m(r)=\underset{n=1, 2, \dots}{\text{Max}} | c_n| r^n\) bei Funktionen der Ordnung \(\varrho < \infty\) die Beziehung besteht \[ \log M(r)=\log m(r)+k \log r \quad (0<k<\varrho+\varepsilon); \] speziell ist also \[ (^\ast)\quad \frac{\log M(r)}{\log m(r)} \to 1. \] Ferner besteht zwischen \(M(r)\) und der Nullstellenzahl \(n(r)\) im Kreise \(| z| \leqq r\) die Relation \[ \log M(r)=\int_0^r \frac{n(x)}{x} dx + h(r) r^{\varrho(r)} \quad (0<h(r)<\text{Konstante}), \] wobei \(\varrho(\alpha)\) ein gewisser “exposant de la suite des zeros” ist. Die Verwendung derartiger Exponenten ist für das Folgende wesentlich. II. betrachtet das Verhalten von \(| f(z)| \) in gewissen Gebieten und bringt zum Schlußein Beispiel wobei \[ \frac{| n\text{-te Nullstelle von }f(z)| }{| n\text{-te Nullstelle von }f(z)+a| }\text{ nicht }\to 1 \quad (a \neq 0). \] III. Gestützt auf \((^\ast)\), wird hier nach Funktionen gesucht, für welche die Beziehung zwischen log \(M(r)\) und dem Index \(N(r)\) des größten Gliedbetrages \(m(r)\) von einfacher Bauart ist, speziell von der Gestalt \[ \log M(r) \sim \varphi(N(r), r). \] Die erhaltenen Funktionen heißen “à correspondance régulière” und werden in Klassen und Kategorien eingeteilt. IV studiert näher die Funktionen “à correspondance d’ordre zéro parfaitement régulière”. V betrifft Funktionen “à correspondance régulière d’ordre 0 et d’ordre \(-1\)”. VI endlich bringt Beispiele von Funktionen der Ordnung Null, die sich als Lösungen einer Funktionalgleichung wie \[ f(az)=P_0(z) f(z)+P_1(z)\quad (P_i=\text{Polynom}, \quad | a| >1) \] “in natürlicher Weise in die Analysis einführen”.
Der zweite Teil behandelt verschiedene Fragen über ganze Funktionen endlicher Ordnung. Das Band, das diese Betrachtungen zusammenhält, ist die von den Funktionen der Ordnung Null übernommene einheitliche Methode. Das wichtigste Resultat ist wohl die in I enthaltene Verschärfung eines Wimanschen Satzes: Bei jeder ganzen Funktion der Ordnung \(\varrho<\frac 12\) ist auf beliebig großen Kreisen \[ \log | f(z)| >(1-\varepsilon) \cos \pi \varrho \log M(r). \] III betrifft “orientierte” Funktionen nicht ganzer Ordnung, d. h. solche, deren Nullstellenargumente einen Grenzwert besitzen. IV enthält einen Beweis der v. Mangoldtschen Formel für die Nullstellenanzahl bei \(\zeta(s)\). V betrachtet Wege, die nach \(\infty\) gehen und längs deren \(f(z)\) einen endlichen oder unendlichen Grenzwert hat, und beleuchtet die hier auftretenden Schwierigkeiten.

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Full Text: DOI Numdam EuDML