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On Lamé’s differential equation and ellipsoidal harmonics. (English) JFM 45.0493.01

Der Hauptsatz der vorliegenden Abhandlung besteht im folgenden:
Die Lösungen der homogenen Integralgleichung \[ y(x)=\lambda\int_0^{4K}P_n(k \text{\,sn\,} x \text{\,sn\,} s)y(s)ds, \] (wo \(n\) eine ganze positive Zahl ist, \(P_n\) ein Legendresches Polynom, \(k\) der Modul und \(4K\) die Periode der elliptischen Funktion Schulen) sind Lösungen der Laméschen Differentialgleichung \[ \frac{d^2y}{dx^2}=\{n(n+1)k^2\text{\,sn}^2x+A\}y, \] und, in der Tat, sind es gerade diejenigen Lösungen der Laméschen Differentialgleichung, die rational in \(\text{sn\,} x \) sind. Dabei entsprechen die Eigenwerte \(\lambda\) der Integralgleichung den Eigenwerten \(A\) der Differentialgleichung. Mit Hilfe dieses Satzes gelingt es dem Verfasser, in der Form \[ V=\int_0^{2\pi}f(x \cos \theta+y \sin \theta+iz,\theta)d\theta, \] die er früher als die allgemeinste Lösung der Laplaceschen Differentialgleichung \[ \frac{\partial^2V}{\partial x^2}+\frac{\partial^2V}{\partial y^2}+\frac{\partial^2V}{\partial z^2}=0 \] nachgewiesen hat, auch die “ellipsoidal harmonics” darzustellen. Namentlich ergibt sich für sie die Darstellung \[ \int_0^{4K}P_n \left\{ \frac{1}{k'c}(k'x \text{sn\,} s+y \text{cn\,} s+iz dn s)\right\}E(s)ds, \] wo \(P_n\) ein Legendresches Polynom, \(E(s)\) eine Lamésche Funktion bedeutet. Dieser Ausdruck führt den Verfasser sodann zu der folgenden allgemeinen Eigenschaft aller Laméschen Funktionen: \[ E(\alpha)E(\beta)E(\gamma)=\int_0^{4K}P_n \left( k^2 \text{\,sn\,} \alpha \text{\,sn\,} \beta \text{\,sn\,} \gamma \text{\,sn\,} s-\frac{k^2}{k^{'2}}\text{\,cn\,} \alpha \text{\,cn\,} \beta \text{\,cn\,} \gamma \text{\,cn\,} s-\frac{1}{k^{'2}}\text{\,dn\,} \alpha \text{\,dn\,} \beta \text{\,dn\,} \gamma \text{\,dn\,} s \right) E(s)ds, \] wo \(\alpha, \beta, \gamma\) beliebige Größen sind. Durch Spezialisierungen von \(\beta\) und \(\gamma\) erhält man unendlich viele verschiedene Integralgleichungen für Lamésche Funktionen.

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