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On the functions associated with the elliptic cylinder in harmonic analysis. (English) JFM 44.0541.03

Proc. 5. Intern. Math. Congr. 1, 366-371 (1913).
Die Funktionen des elliptischen Zylinders, die durch die Gleichung \(d^2 y/dz^2 + (a + k^2\cos^2 z)y = 0\) definiert werden, treten bei der Lösung der partiellen Differentialgleichungen für die Wellen und das Potential bei elliptischen Körpern oder elliptisch-zylindrischen Verteilungen auf. Die Lösungen jener Differentialgleichung sind im allgemeinen nicht periodische Funktionen von \(z\); es gibt aber unendlich viele Lösungen, die periodisch sind mit der Periode \(2\pi\). Diese periodischen Lösungen der Differentialgleichung werden in der mathematischen Physik gebraucht; mit ihnen beschäftigt sich die vorliegende Note in den Abschnitten: 2. Die Funktionen des elliptischen Zylinders sind die Lösungen einer gewissen Integralgleichung: \[ y(z)+\lambda\int^{2\pi}_0e^{k\cos x\cos \theta}y(\theta)d\theta=0. \] 3. Bestimmung der Funktionen \(ce_0(z)\) des elliptischen Zylinders von der Ordnung 0. 4. Die andere, von den Funktionen des elliptischen Zylinders befriedigte Integralgleichung: \[ y(z) + \lambda\int^{2\pi}_0 e^{ik\sin z\sin\theta} y(\theta)d\theta = 0. \] 5. Die Funktionen \(ce_1(z)\) und \(se_1(z)\) des elliptischen Zylinders von der Ordnung 1.