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Sur les liaisons exprimées par des relations non linéaires entre les vitesses. (French) JFM 42.0755.02

Man denke sich ein holonomes oder nicht holonomes System mit reibungslosen Verbindungen, dessen allgemeinste, mit den Verbindungen verträgliche Verrückung linear von den willkürlichen Variationen \(\delta q_\nu\) \((\nu=1,2,\ldots,k)\) von \(k\) Parametern \(q_\nu\) abhängt. Es seien \(dq_\nu\) die reellen Änderungen dieser Parameter während der Zeit \(dt\), und man setze \(q_\nu'=dq_\nu/dt\), \(q_\nu''=dq_\nu'/dt\) für eine mit den Verbindungen verträgliche Verrückung ist die Summe der Arbeiten der gegebenen Kräfte von der Form \(\varSigma Q_\nu \delta q_\nu\). Die Bewegungsgleichungen werden dann nach der folgenden Methode gewonnen (vgl. F. d. M. 30, 641, 1899). Es sei \(S =\frac 12 \varSigma m(x''{}^2+y''{}^2+z''{}^2)\) die Beschleunigungsenergie des Systems, ausgedrückt als Funktion der \(q_\nu''\). Die Bewegungsgleichungen erhält man durch Aufsuchung der Werte, welche die Funktion \(R = S - \varSigma Q_\nu q_\nu''\) zum Minimum machen. Nun nehme man an, daßzu den vorigen Verbindungen eine neue reibungslose Verbindung von solcher Art hinzutrete, daßdie mit dieser Verbindung verträglichen Verrückungen durch eine Relation \(f(\delta q_1,\delta q_2,\ldots,\delta q_k)=0\) verbunden sind, wo \(f\) eine homogene Funktion \(n\)-ten Grades der \(\delta q_\nu\) ist. Man nehme ferner an, daßdie wirkliche Verrückung dieselbe Relation befriedige: \(f(q_1'.q_2'.\ldots,q_k')=0\). Indem man diese Gleichung nach der Zeit differenziert, erhält man: \[ (3)\quad \frac{\partial f}{\partial q_1'}q_1'' + \frac{\partial f}{\partial q_2'}q_2'' + \cdots + \frac{\partial f}{\partial q_k'}q_k'' + \frac{\partial f}{\partial q_1}q_1'+ \cdots + \frac{\partial f}{\partial t}=0. \] Die neue Bewegung geschieht so, daßdie Funktion \(R\) der \(q_\nu''\) ein Minimum wird, indem zugleich die Bedingung (3) zwischen den \(q_\nu''\) erfüllt ist. Ist \(\lambda\) ein Hülfsfaktor, so sind die Bewegungsgleichungen: \[ (4)\quad \frac{\partial S}{\partial q_\nu'} - Q_\nu - \lambda \frac{\partial f}{\partial q_\nu'}=0, \] und die Glieder \(\lambda \frac{\partial f}{\partial q_\nu'}\) stellen die Wirkung der von der neuen Verbindung herrührenden Kraft dar.

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Full Text: Gallica