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The asymptotic representation of the elliptic cylinder functions. (English) JFM 40.0513.02

American J. 31, 311-336 (1909); auch sep. Diss. Zürich (1909).
Die Differentialgleichung, der die Funktionen des elliptischen Zylinders genügen (vgl. Heine, Handbuch der Kugelfunktionen, 2. Aufl., I, S. 405 ff.), nimmt, wenn man \(\varphi=iu\) setzt und an Stelle der Heineschen andre Konstanten \(k,\mathfrak{B}\) einführt, die Form an: \[ (104)\quad \frac{d^2E}{du^2}-(k^2\text{cosh}^2u+\mathfrak{B})E=0, \] wo \(\text{cosh}\) den hyperbolischen Kosinus bezeichnet. Statt dieser Gleichung legt der Verf. seinen Untersuchungen die andere zugrunde: \[ (1)\quad \frac{d^2U}{du^2}+(k^2\text{cosh}^2u+\mathfrak{B})U=0, \] die durch die Substitution \[ x=\frac{ke^u}{2}, U_1=Ue^{\mathfrak12\,u}, p=\frac{k^2}{2}+\frac{1}{4}+\mathfrak{B}, q=\frac{k^4}{16} \] in \[ (5)\quad \frac{d^2U_1}{dx^2}+\left(1+\frac{p}{x^2}+\frac{q}{x^4}\right)U_1=0 \] übergeht. Das allgemeine Integral von (5) wird in doppelter Form aufgestellt, einmal in der Form \[ (18)\quad U_1=C[P\cos (\alpha-x)+Q\sin(\alpha-x)], \] wo \(C\) und \(\alpha\) die willkürlichen Konstanten bezeichnen, während \(P\) und \(Q\) semikonvergente Reihen der Form \[ (19)\quad \begin{cases} P=1-\frac{f_2}{x^2}+{f_4}{x^4},\\ Q=\frac{f_1}{x}-\frac{f_2}{x^3}+\frac{f_5}{x^5}\end{cases} \] sind. Während (18) zur Untersuchung von \(U_1\) für große Werte von \(x\) besonders geeignet ist, ergeben sich für kleinere \(x\) die Fundamentalintegrale \[ \begin{aligned} (28)\quad U_{1p}&=x\left[A\sin\left(\frac{q^{\frac12}}{x}\right)-B\cos\left(\frac{q^{\frac12}}{x}\right)\right],\\ (29)\quad U_{1q}=x\left[B\sin\left(\frac{q^{\frac12}}{x}\right)+A\cos\left(\frac{q^{\frac12}}{x}\right)\right],\end{aligned} \] wo \(A\) und \(B\) Reihen von der Form \[ (30)\quad\begin{cases} A=1-\frac{x^2}{q}\;f_2+\frac{x^4}{q^2}\;f_4-\cdots,\\ B=\frac{x}{q^{\frac12}}\;f_1-\frac{x^3}{q^{\frac12}}\;f_3+\cdots\end{cases} \] bezeichnen.
Aus (18) wird für die Wurzeln der Gleichung \(U_1=0\) nach doppelter Methode eine Darstellung durch Reihen abgebildet: \[ (44)\quad x=\alpha+\frac{2n-1}{2}\;\pi-\frac{p}{2\alpha+(2n-1)\pi}+\frac{5p^2+6p-12q}{3[2\alpha(2n-1)\pi]^3}-\cdots, \] und weiter wird die Gleichung aufgestellt, der \(\alpha\) genügen muß, damit, abgesehen von einem konstanten Faktor, \(U_1\) mit \(U_{1p}\) übereinstimmt. Auch werden angenäherte Lösungen dieser Gleichung für a mitgeteilt. Nachdem dann noch für die Wurzeln von \(U_1^\prime=0\) ein analoger Ausdruck ermittelt ist wie für die von \(U_1=0\), wird für das eine partikulare Integral der eigentlich zu behandelnden Gleichung (104) eine nach negativen Potenzen von \(\frac{ke^u}{2}\) fortschreitende semikonvergente Reihe aufgestellt.
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