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The elliptic cylinder function of class \(K\). (English) JFM 39.0535.01

Der Verf. knüpft an die Entwicklungen, die Heine in seinem Handbuch der Kugelfunktionen (2. Aufl., Bd. I, S. 405 ff.) über die erste Klasse der Funktionen der elliptischen Zylinders gegeben hat, d. h. aber diejenigen Lösungen der Differentialgleichung \[ \frac{d^2E}{d\varphi^2} +\left(\tfrac 8b \cos 2\varphi + 4z \right) E=0, \] die die Form \[ E = \tfrac 12 \,a_0 + \sum_{n=1}^\infty a_n \cos (2n\varphi) \] haben. Nimmt man \(a_0 = 1,\) so werden die Koeffizienten \(a_n\) ganze Funktionen \(n\)-ten Grades von \(z\) und \(b\). Diese Funktionen werden hier für \(n = 1, 2, \dots, 7\) berechnet, zunächst für beliebige Werte von \(b,\) dann speziell für \(b = 0, 1\); \(b = 10\); \(b = 100.\) Für diese Werte von \(b\) werden weiter die angenäherten Wurzeln der Gleichungen \(a_1 = 0, \dots , a_7 = 0\) nach der Hornerschen Methode numerisch berechnet, ebenso die Maximal- und Minimalwerte dieser Funktionen. Die Resultate werden in Tabellen zusammengestellt und zugleich graphisch erläutert. Aus den so gewonnenen speziellen Resultaten ermittelt der Verf. unter Benutzung der Rekursionsformeln für die \(a_n\) die ersten Wurzeln und die ersten Maxima und Minima von \(a_n\) für große \(n,\) resp. für \(n = \infty\) und sucht mit ihrer Hülfe die Konvergenz der obigen Reihe strenger zu begründen als Heine.
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