×

On the congruences of third degree. (Sur les congruences du troisième degré.) (French) JFM 39.0257.01

Einer Anregung von Oltramare folgend, stellt sich der Verf. das Problem, die Lösungen der Kongruenz \[ x^3+px+q\equiv 0 (\text{mod}.\,l>3) \] (\(l\) eine Primzahl) durch ein rekurrentes Verfahren zu bestimmen. Hierzu verfährt er zunächst ähnlich der Cardanischen Ableitung: es seien \(a\) und \(b\) die Lösungen von \[ z^3+\frac{3q}{p}\;z-\frac{p}{3}\equiv 0 (\text{mod}.\,l); \] dann ist \[ x\equiv \frac{a-by}{1-y}\;\text{und}\;y^3\equiv\frac{a}{b} (\text{mod}.\,l). \] Ist also z.B. \(l\equiv 2(mod.\,3)\), so ist \(y\equiv \left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{l+1}{3}-1}\) und \[ x\equiv \frac{a^{\frac{l+1}{3}}-b^{\frac{l+1}{3}}}{a^{\frac{l+1}{3}-1}-b^{\frac{l+1}{3}-1}}=\frac{y_m}{y_{m+1}} [m=\tfrac{1}{3}(l+1)], \] wenn \(y_m=\frac{a^m-b^m}{a-b}\). Für diese \(y\) gibt der Verf. Rekursionsformeln an, die zur einfachen Berechnung von \(x\) führen. Die anderen Fälle von \(l\) erledigen sich analog.

MSC:

11A07 Congruences; primitive roots; residue systems
PDFBibTeX XMLCite