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Determinazione del coefficiente generale nello sviluppo in serie della radice di un’ equazione algebrica. (Italian) JFM 39.0125.01

Die Note schließt sich unmittelbar an die Arbeiten an, über welche F. d. M. 38, 120, 1907, JFM 38.0120.02, referiert worden ist. Für den Koeffizienten \(A_{\alpha_0,\alpha_1,\dots,\alpha_n}\) der Potnzreihenentwicklung leitet Capelli den Wert ab: \[ A_{\alpha_0,\alpha_1,\dots,\alpha_n}= \sum_{\lambda < \alpha}\;\frac {\lambda!} {\lambda_0! \lambda_1! \dots\lambda_n!}\;B_{\lambda_0, \lambda_1,\dots,\lambda_n} {a_0}^{\lambda_0} {a_1}^{\lambda_1} \dots {a_n}^{\lambda_n}, \] wo \[ \begin{aligned} & \alpha=\alpha_0+ \alpha_1+ \cdots+\alpha_n,\\ & \lambda=\lambda_0+ \lambda_1+\cdots+\lambda_n\end{aligned} \] und \(B_{\lambda_0, \lambda_1,\dots,\lambda_n} = \) \[ (-1)^{\alpha+ \lambda}\;\frac {\omega^{\beta+ \mu- \alpha- \lambda+ 1}} {\lambda{\cdot}[\theta^{\prime} (\omega)]^{\alpha+ \lambda}}\;{\cdot}\;\begin{pmatrix} {\beta+ \mu} \\ {\alpha+ \lambda- 1} \end{pmatrix} {\cdot} \begin{pmatrix} {\alpha+ \lambda- 1} \\ {\lambda- 1} \end{pmatrix} {\cdot} \begin{pmatrix} {2\alpha- 1} \\ {\alpha- \lambda- 1} \end{pmatrix}; \] dabei ist gesetzt \[ \begin{aligned} & \theta(z)=a_0+ a_1z+ a_2z^2+ \dots+ a_nz^n,\\ & \theta(\omega)=0,\end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} & \beta=\alpha_1+ 2\alpha_2+ 3\alpha_3+ \dots+ n\alpha_n,\\ & \mu=\lambda_1+ 2\lambda_2+ 3\lambda_3+ \dots+ n\lambda_n.\end{aligned} \]

Citations:

JFM 38.0120.02
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References:

[1] Quest’espressione non differisce sostanzialmente da quella da me già annunciaca, senza dimostrazione, nella Nota:Sulla risoluzione generale delle equazioni algebriche per mezzo di sviluppi in serie, Nota IIIa [Rendiconto dell’Accademia delle Scienze Fisiche e Matematiche (Napoli), serie III, vol. XIII (1907), pp. 342–347 (fasc. 12: dicembre 1907)]. In detta Nota ho espresso bensì il coefficiente generale dello sviluppo in funzione dei coefficienti di un’equazione trasformata; ma non sembra cosa facile dedurre dalla formola ivi trovata l’espressione, di cui qui ora si tratta, composta direttamente coi coefficienti della equazione data.
[2] Sulla risoluzione generale delle equazioni per mego di sviluppi in serie [Rendiconto dell’Accademia delle Scienze Fisiche e Matematiche (Napoli), serie III, vol. XIII (1907), pp. 192–199 (Fasc. 5–7: maggioluglio (1907)].
[3] Sulla risoluzione generale delle equazioni algebriche per mezzo di sviluppi in serie, Nota II [Rendiconto dell’Accademia delle Scienze Fisiche e Matematiche (Napoli), serie III, vol. XIII (1907), pp. 289–294 (fasc. 8–11: agosto-novembre 1907)].
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