×

Sur un problème de Tchébychef. (Russian) JFM 37.0973.03

Mém. de St. Pétersb. (8) 17, Nr. 3, 32 S. (1905).
Das fragliche Problem ist das der Gleichgewichtsgestalten einer homogenen Flüssigkeitsmasse, deren Elemente sich gegenseitig nach dem Newtonschen Gesetze anziehen, und die sich gleichmäßig um eine Achse dreht. Wenn die Winjkelgeschwindigkeit \(\omega\) eine gewisse Grenze \(\omega''\) nicht übersteigt, kann die Gleichgewichtsgestalt bekanntlich ellipsoidisch sein. So lange \(\omega<\omega''\) ist, gibt es zwei Gleichgewichtsgestalten, nämlich die Drehellipsoide, welche unter dem Namen der Maclaurinschen Ellipsoide bekannt sind. Wenn ferner \(\omega\) unterhalb einer gewissen anderen Grenze \(\omega'\) liegt \((\omega'<\omega'')\), so gibt es noch eine Gleichgewichtsgestalt, das Jacobische dreiachsige Ellipsoid.
Diese Gestalten wandeln sich stetig mit \(\omega\). Wenn \(\omega\) von Null bis \(\omega'\) wächst, so nähern sich das Jacobische Ellipsoid und das minder abgeplattete Maclaurinsche Ellipsoid meht und mehr; sie verschmelzen bei \(\omega=\omega'\). Wächst \(\omega\) weiter, so gibt es nur zwei ellipsoidische Gleichgewichtsgestalten, die beiden Drehellipsoide, welche sich beständig einander nähern und für \(\omega=\omega''\) verschmelzen. Bei höheren Winkelgeschwindigkeit bestehen keine Gleichgewichtsgestalten in Ellipsoidenform. Der Inbegriff der Maclaurinschen Ellipsoide umfaßt also zwei Reihen von Gleichgewichtsformen, die sich stetig mit \(\omega\) wandeln. Der Inbegriff der Jacobischen Ellipsoide enthält eine dritte Reihe. Bei den Werten \(\omega'\) und \(\omega''\) kann man von einer dieser drei Reihen zu einer der anderen übergehen.
Von selbst entsteht nun die Frage, ob es andere solche Reihen von Gleichgewichtsgestallten gibt, zu denen man von den ellipsoidischen Reihen bei gewissen Werten der Winkelgeschwindigkeit übergehen könnte. Besonders interessant wäre es, dies für den Wert \(\omega''\) von \(\omega\) zu erkennen, jenseits dessen die ellipsoidischen Gleichgewichtsgestalten zu existiren aufhören. Dies ist das von Tschebyschef gestellte Problem. Allgemein kann man es in folgender Fassung aussprechen: Man betrachte eine beliebige von den Gleichgewichtsgestalten; sie werde mit \(E\) bezeichnet, die ihr zugehörige Winkelgeschwindigkeit mit \(\omega\). Man erteilt dieser Geschwindigkeit einen hinreichend kleinen Zuwachs \(\varepsilon\) und fragt nun, ob bei \(\omega+\varepsilon\) außer den ellipsoidischen Gleichgewichtsgestalten andere existieren, die bei stetiger Änderung mit \(\varepsilon\) für \(\varepsilon=0\) mit dem Ellipsoid \(E\) verschmelzen.
Liapunof hat diese Aufgabe mit bemerkenswertem Erfolge in seiner russischen Inauguraldissertation vom Jahre 1884 behandelt; diese ist jüngst ins Französische übersetzt und in den Ann. de Toulouse (2) 6, 5-115, 1904 erschienen (vgl. F. d. M. 16, 739, JFM 16.0793.02 u. 35, 709, JFM 35.0709.03). An den Arbeiten von Poincaré über verwandte Fragen aus früherer und späterer Zeit (1885 u. 1903) vermißt der russische Mathematiker die nötige Strenge der Beweisführung. In der vorliegenden Veröffentlichung, der eine Reihe anderer folgen soll (vgl. S. 718 dieses Bandes), gibt der Verf. eine Skizze seiner neuen Methode zur Behandlung des Problems und eine Übersicht über die mit ihr erreichten Resultate.
Bezüglich der Gleichgewichtsgestalten, zu denen man vom Jacobischen Ellipsoide aus übergehen kann, und die mit den “birnförmigen” Formen von Poincaré und Darwin übereinstimmen, besteht der unausgeglichene Widerspruch zwischen dem Ergebnisse der Darwinschen Rechnungen, nahc denen diese Gleichgewichtsgestalten stabil sind, und den Resultaten der Liapunofschen Untersuchungen, zufolge deren dieselben Gestalten instabil sind.

MSC:

76A05 Non-Newtonian fluids
76U05 General theory of rotating fluids