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Über den Picardschen Satz. (German) JFM 37.0418.01

Zürich. Naturf. Ges. 51, 252-318 (1906).
Während des Sommersemesters 1906 hat Landau an der Berliner Universität eine vierstündige Vorlesung über den Picardschen Satz gehalten und gibt in der vorliegenden Arbeit eine Übersicht über deren Inhalt.
Den ersten Teil bildet ein ausführlicher Bericht über die Abhandlungen von Landau selbst, von Hurwitz und von Schottky aus dem Jahre 1904 (”F. d. M. 35, 401-404, 1904, siehe JFM 35.0401.01, JFM 35.0401.02 u.JFM 35.0401.03”) und die Abhandlungen von Carathéodory und Boutroux aus dem Jahre 1905 (F. d. M. 36, 466-467, 1905, JFM 36.0466.02), bei dem auf Grund eigener Untersuchungen des Verf. und brieflicher Mitteilungen von Carathéodory und Hartogs die Diskussion der Funktion \(\varphi (a_0,a_1)\) noch vervollständigt wird; diese Funktion ist durch die Forderung erklärt, daß jede für \(|x|<\varphi +\delta\), wo \(\delta\) eine beliebig kleine positive Größe bedeutet, reguläre Funktion: \[ a_0+a_1x+a_2x^2+\dotsm \] mit gegebenen, von Null verschiedenen Anfangskoeffizienten \(a_0\) und \(a_1\) in jenem Kreise mindestens einmal gleich Null oder Eins ist, daß es aber eine für \(|x|<\varphi -\delta\) reguläre Funktion: \[ a_0+a_1x+\dotsm \] gibt, die in jenem Kreise von Null und Eins verschieden ist.
Der zweite Teil enthält eine Reihe von Zusätzen zu den genannten Arbeiten. Es möge genügen, aus den zahlreichen neuen Ergebnissen zwei herauszuheben. Das soeben formulierte Problem läßt sich in der Weise verallgemeinern, daß man die \(n+1\) ersten Koeffizienten \(a_0,a_1,\dots ,a_n\) als gegeben ansieht oder auch eine Reihe von Koeffizienten \(a_0,a_1,\dots ,a_{\nu}\), die nicht unmittelbar aufeinander zu folgen brauchen; Landau zeigt, wie man, nachdem \(\varphi (a_0,a_1)\) bestimmt ist, durch ein rekurrierendes Verfahren auch zu den betreffenden \(\varphi\)-Funktionen gelangen kann (\(\S\) 15). Schottky hatte (vgl. das vorstehende Referat) zuerst einen elementaren Beweis für den allgemeinen Picardschen Satz gefunden, das heißt einen Beweis, bei dem die Theorie der elliptischen Modulfunktionen nicht benutzt wird, und zwar betrachtete er dazu die Funktion \[ \ln F(x), \] wo \(F(x)\) in der Nähe des isolierten wesentlich singulären Punktes \(x_0\) eindeutig ist. Die Mehrdeutigkeit dieser Hülfsfunktion \(\ln F(x)\) bewirkt, daß der Beweis verschiedene Kunstgriffe erfordert, und es ist daher eine beachtenswerte Vereinfachung, daß Landau mit der Funktion \[ \frac {F'(x)}{F(x)} \] auskommt, die in der Umgebung von \(x_0\) ebenfalls eindeutig ist (\(\S\) 11). Eine andere Vereinfachung des Beweises hat inzwischen Schottky selbst angegeben (Berliner Sitzungsbericht vom 21. November 1907).