×

Recherches sur le carré de la dérivée logarithmique de la fonction gamma et sur quelques fonctions analogues. (French) JFM 35.0457.03

Verf. betrachtet die zu der Gaußschen Funktion \[ \Psi(x) = D_x\log\Gamma(x) \] in enger Beziehung stehende Funktion \[ s_1(x) = \sum_0^\infty \left(\frac1{x+n} - \frac1{n+1}\right) \] und daneben \[ \sigma_1(x) = \frac12 \left\{s_1\left(\frac x2\right) - s_1\left(\frac{x+1}2\right)\right\} = \sum_0^\infty \frac{(-1)^\nu}{x+\nu}. \] Sein Ziel ist, Integraldarstellungen für die Produkte aus je zweien der vier Funktionen \[ s_1(x),\, s_1(1-x),\, \sigma_1(x),\, \sigma_1(1-x) \] zu finden und Entwicklungen in Fakultätenreihen zu geben. Diese Untersuchungen hängen mit der Theorie der numerischen Reihen \[ s_n = \frac1{1^n} + \frac1{2^n} + \frac1{3^n} +\cdots,\quad \sigma_n = \frac1{1^n} - \frac1{2^n} + \frac1{3^n} -\cdots \] zusammen. Die genannten Integraldarstellungen sind von derselben Form wie diese: \[ s_1(x) = \int_0^1 \frac{t^{x-1}-1}{1-t}dt,\quad \sigma_1(x) = \int_0^1 \frac{t^{x-1}}{1+t}dt. \] Sie ergeben sich mit Hülfe des folgenden Satzes: Wenn die Reihe \[ \frac{a_0}1 + \frac{a_2}2 + \frac{a_2}3 +\cdots \] konvergent ist und \(f(t) = \sum\limits_0^\infty a_\nu t^\nu\) gesetzt wird, so hat man für \(\operatorname{Re}(x)>0\) \[ \int_0^1 f(t) t^{x-1} dt = \frac{a_0}x + \frac{a_1}{x+1} + \frac{a_2}{x+2} +\cdots. \] Durch Spezialisierung von \(f(t)\) erhält man zunächst Integraldarstellungen für die Funktionen \[ \begin{aligned} \xi(x) &= \sum_0^\infty \left(\frac1{x+n} - \frac1{n+1}\right)\left(\frac11 + \frac12 +\cdots+ \frac1n\right),\\ \eta(x) &= \sum_1^\infty \frac{(-1)^{n-1}}n \left(\frac1x + \frac1{x+1} +\cdots+ \frac1{x+n-1}\right),\\ \xi_1(x) &= \sum_1^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n+x} \left(\frac11 + \frac12 +\cdots+ \frac1n\right),\\ \xi_2(x) &= \sum_1^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n+x} \left(\frac11 - \frac12 +\cdots+ \frac{(-1)^{n-1}}n\right).\end{aligned} \] Mit ihnen stehen aber in einem einfachen Zusammenhang die Funktionen: \[ \begin{aligned} &s_1^2(x),\, s_1(x)s_1(1-x),\, s_1(x)\sigma_1(x),\\ &\sigma_1^2(x),\, \sigma_1(x)\sigma_1(1-x),\, s_1(x)\sigma_1(1-x),\end{aligned} \] und dadurch gewinnt man die gesuchten Integralausdrücke. Diese ermöglichen nun, auf Grund eines vom Verf. herrührenden Satzes zu entscheiden, ob die betrachteten Funktionen sich in eine Reihe von der Form \[ \frac{b_0}x + \frac{1!b_1}{x(x+1)} + \frac{2!b_2}{x(x+1)(x+2)} +\cdots \] entwickeln lassen, und man kann die Entwicklung, wenn sie existiert, aus den Integralen ableiten. Schließlich behandelt der Verf. noch andere Entwicklungen in Fakultätenreihen, die darauf beruhen, daß man bei dem Integral \[ \int_0^1 f(1-t)(1-t)^{-x}dt \] unter gewisssen Bedingungen auf \((1-t)^{-x}\) die Binomialformel anwenden darf.

PDFBibTeX XMLCite
Full Text: DOI

References:

[1] Disquisiliones generales circa functions a seriem infinitam, etc., § 30; OEuvres, t. III.
[2] Graf:Einleitung in die Theorie der Besscl’schen Functionen, I, p. 190; Berne, 1898.
[3] Tannery etMolk:Thèorie des fonctions elliptiques, t. I, p. 176; Paris 1893.
[4] Journal de Crelle, t. 79. · JFM 52.0038.14
[5] Mathematische Annalen, t. 21.
[6] Citation deM. L. Sauvage:Théorie générale des systèmes d’équations différentielles linéaires et homogènes, p. 176; Paris, 1895.
[7] Mathematische Annalen, t. 28, p. 7.
[8] Ein Satz über Funktionen, die algebraische Differentialgleichungen befriedigen, p. 32, (Thèse de doctorat, Helsingfors, 1902).
[9] VoirM. Dini:Grundlagen für eine Theorie der Functionen einer veränderlichen reellen Grösse, p. 525; Leipsic, 1892.
[10] Annales de d’École Normale. 3.e série, t. 19, p. 419. Paris, 1902.
[11] Rendiconti della reale Accademia dei Lincei, serie 5.a, t. 11, p. 139, p. 417; 1902.
[12] Exercices de calcul différentiel et intégral, t. II, p. 244.
This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. In some cases that data have been complemented/enhanced by data from zbMATH Open. This attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming completeness or a perfect matching.